積分おしえてください。

質問

もしかしたらすごく簡単なのかもしれないですけど、調べてもわからなかったので教えてください。

∫1/cosθdθ (0<θ<π)＜－積分範囲

回答No.1

nabla · ベストアンサー

分母分子にcosθをかけてsinθ＝xで置換積分をしてみましょう。

補足

助言ありがとうございます。

解いていくと
[1/2log|1-x|+1/2log|1+x|](0<θ<π)
こんな感じでいいんでしょうか？

回答No.4

onakyuu

ひょっとして
∫1/cosθdθ (0<θ<π)
=∫1/cosθdθ (0<θ<π/2)+∫1/cosθdθ (π/2<θ<π)
=∫1/cosθdθ (0<θ<π/2)-∫1/cosθdθ (0<θ<π/2)
=0
ってことではないのかしら？
∵cosθ=-cos(π-θ)

回答No.3

nabla

あっ。
∫を忘れてました。
(sec(φ/2))^2/2tan(φ/2)から(log|tan(φ/2)|)のところで積分を実行しています。
あとは普通の演算ですね。
ちなみにsecθ＝1/cosθです。

お礼

ありがとうございました。無事解決しました。他のとき方まで教えてもらってありがとうございました。

回答No.2

nabla

OKですよ。
あともうちょっといじってやると不定積分が
log√{(1＋sinθ)/(1－sinθ)}となるはずです。
あとは積分範囲を代入すれば答えはでますね。

それともう一つ若干テクニカルですが計算が楽な方法も思いつきました。
θ＝φ－π/2と置換すると、
1/cosθdθ
＝1/sinφdφ
＝1/2sin(φ/2)cos(φ/2)dφ
＝(sec(φ/2))^2/2tan(φ/2)
＝(log|tan(φ/2)|)
＝(log|tan(θ/2+π/4)|)
ここに０とπを代入してもいけますね。