この問題の解き方を教えてください

質問

kを正の実数とする。点Pは△ABCの内部にあり、kAPベクトル＋5BPベクトル＋3CPベクトル＝0ベクトルを満たしている。また、辺BCを3:5に内分する点をDとする。3点A、P、Dは一直線上にあることを示せ。さらに△ABPの面積が△CDPの面積の6/5倍に等しいとき、kの値を求めよ。

という問題がわからなくて
ぜひ教えて頂きたいです！

よろしくお願いいたします;;

回答No.2

yyssaa

＞APベクトルを↑APと書きます。
↑AP=↑AB+↑BD+↑DP
↑AB=↑AP-↑BP、↑BD=(3/8)↑BC、↑BC=↑BP-↑CPだから最初の式は
↑AP=↑AP-↑BP+(3/8)(↑BP-↑CP)+↑DP、↑DPを求めると、
↑DP=↑BP-(3/8)(↑BP-↑CP)=(5/8)↑BP+(3/8)↑CPとなるので、
8↑DP=5↑BP+3↑CP、条件がk↑AP+5↑BP+3↑CP=↑0だから
5↑BP+3↑CP=-k↑AP、すなわち8↑DP=-k↑AP、↑DP=-(k/8)↑AP
となるので、3点A、P、Dは一直線上にある(証明終わり)
＞Bから直線ADに下ろした垂線の長さをh1、Cから直線ADに下ろした垂線
の長さをh2、△ABPの面積をS1、△CDPの面積をS2とすると、
h1/h2=3/5、AP/PD=8/k、S1=(1/2)AP*h1、S2=(1/2)PD*h2
S1/S2=(AP*h1)/(PD*h2)=(AP/PD)*(h1/h2)=(8/k)*(3/5)=24/(5k)
これが6/5だから24/(5k)=6/5からk=4・・・答

お礼

回答ありがとうございます！

こういう解き方もあるのだなぁと
勉強になりました

ありがとうございました！

回答No.1

gohtraw

ベクトル記号は略します。
BP=AP-AB、CP=AP-ACを
ｋAP＋５BP＋３CP＝０　に代入して
ｋAP＋５（AP-AB)＋３（AP-AC)＝０
（ｋ＋８）AP＝５AB＋３AC
AP=（５AB+3AC)／（ｋ＋８）・・・（あ）

一方、DがBCを３：５に内分することから
AD=（５AB+3AC)／８・・・（い）

（あ）と（い）より
AP=８AD／（ｋ＋８）・・・（う）
となり、APがADの実数倍となるので三点A、P、Dは一直線上にある。

BD：DC=３：５より、△ABDとACDの面積の比は３：５であり、（う）より
△ABPの面積は△ABDの面積の８／（ｋ＋８）倍　、そして
△CDPの面積は△ACDの面積のｋ／（ｋ＋８）倍
となるので、△ABPとCDPの面積の比は
３＊８／（ｋ＋８）：５ｋ／（ｋ＋８）
であり、問題文よりこれが６／５：１　になるので
３＊８／（ｋ＋８）：５ｋ／（ｋ＋８）＝６／５：１
２４：５ｋ＝６：５
３０ｋ＝１２０
ｋ＝４

お礼

回答ありがとうございます！

自分で解けるところまで解いてみたのと似ていたので
スッと理解することができました

ありがとうございました！