三角比の問題です；；

質問

過去問を挑戦してみましたが、分かりませんでした。　どなたか解答宜しくお願いします。

問題
三角形ＡＢＣはAB＝ＡＣの２等辺三角形とする。　Ｄを辺ＢＣ上の点とし、ＡＤの延長線が三角形ＡＢＣ

の外接円と交わる点をＰする。

ＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰであるとき、三角形は正三角形であることを示せ。

回答No.4

noname#166246 · ベストアンサー

No.2です。
相似を使った方法で改良版を示します。（相似の使用が2回にw）

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三角形ABDと三角形APCは相似→AB:BD＝AP:PC
→AB・PC＝BD・AP　　（１）
三角形ABPと三角形ADCは相似→BP:AP＝DC:AC
→BP・AC＝DC・AP　　（２）

（１）＋（２）より
AB・PC＋BP・AC＝BD・AP＋DC・AP

左辺＝AB・（PC＋BP）（なぜならば仮定よりAB＝AC）
　　＝AB・AP　　　　（なぜならば仮定よりPC+BP＝AP）
右辺＝（BD＋DC）・AP＝BC・AP
従って　AB・AP＝BC・AP
よって　AB＝BC

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なぜ思いついたかといえば、No.3さんの回答を見て
http://homepage3.nifty.com/sugaku/toremi.htm
を読んだからです。

上の（１）（２）とも二等辺三角形とは関係なく、
そこからの変形でのみ二等辺三角形であることを使っていますが、
それは上のサイトの定理の証明の構成がそうなっているからです。
（一般の四角形で成り立つので当然ですが）

それにしても、相似な三角形がたくさんあって
どれを使ったらよいのか考えにくいです。

お礼

解答ありがとうございます。
わざわざ参考になるサイトのＵＲＬまで教えて頂いたので助かります。

非常に説明も分かりやすかったです！

回答No.3

ferien

三角形ＡＢＣはAB＝ＡＣの２等辺三角形とする。　Ｄを辺ＢＣ上の点とし、ＡＤの延長線が三角形ＡＢＣ

の外接円と交わる点をＰする。

>ＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰであるとき、三角形は正三角形であることを示せ。
ＡＢ＝ＡＣ＝ａとおきます。
四角形ＡＢＰＣは円に内接するから、それに関するトレミーの定理というものが使えます。
トレミーの定理より、
ＡＰ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＰ＋ＡＢ・ＣＰ
　　　　　＝ａＢＰ＋ａＣＰ
　　　　　＝ａ（ＢＰ＋ＣＰ）条件より
　　　　　＝ａＡＰ　
よって、ＢＣ＝ａ　　
ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣだから、三角形ＡＢＣは正三角形　

この定理は内接四角形について調べているうちに見つけました。
定理を知らなければこの解き方はできないので、あまり参考にならないかもしれませんが。。

お礼

解答ありがとうございます。
トレミーの定理はまだ習ってないです；；

ちょっと調べてみますね！

回答No.2

noname#166246

三角形ABDと三角形CPDは相似なので、AD:AB=CD:CP　　（１）
三角形ACDと三角形BPDは相似なので、AD:AC=BD:BP　　（２）
（１）より　CD＝（AD・CP）／AB
（２）より　BD＝（AD・BP）／AC
すると、BC＝BD＋DC＝（AD・CP）／AB＋（AD・BP）／AC
仮定よりAB＝ACなので、BC＝（CP＋BP）・AD／AB　とでき、さらに
仮定よりAP＝BP＋CPなので、BC＝AP・AD／AB　となる　（３）

ここで
三角形ABDと三角形APBが相似なことから、
AB：AD＝AP：AB　つまり、AP・AD／AB＝AB　である　（４）

（３）（４）より　BC＝AB　である。
仮定のAB＝ACとあわせ、三角形ABCは正三角形である。

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※相似であることの証明は省いてます。
※発想としてはBC＝AB（またはAC）を証明するしかないだろうなあ
→相似比を使ってBP、CPを使ってBDとCDが表せないかな
→で　（３）ができました。
→あとは、これがABになればいいなあってことを考えていたら
相似の三角形が見つかり比を計算したらうまく行った
という感じです。

自分の発想としてはこんな感じでしたが、相似比を３回も
使っているのでもっとうまいやり方があるかもしれませんね。

お礼

解答ありがとうございます。
やはり相似が一番考え易いですよね。
参考になります。

回答No.1

nag0720

外接円の中心をO、半径をr、∠BAC=α、∠BOP=β　とすると、
∠AOP=π-α+β
∠COP=2α-β
なので、
AP=2rsin((π-α+β)/2)
=2rcos((α-β)/2)
BP+CP=2rsin(β/2)+2rsin((2α-β)/2)
=4rsin(α/2)cos((α-β)/2)
よって、
sin(α/2)=1/2
α=π/3

お礼

解答ありがとうございます。

質問ばかりで申し訳ないのですが、πはとして用いられているのですか？