ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

質問

※AP→は「APベクトル」という意味です。

△ABCの内部に点Pがあり、３AP→＋２BP→＋CP→＝0→を満たしています。
（１）APの延長とBCの交点をDとするとき、BD：DC、AP：PDを求めてください。（途中式もお願いします。）
（２）面積の比△ABP：△BCP：△CAPを求めてください。 （途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、
（１）BD：DC＝１：２、AP：PD=１：１
（２）１：３：２
です。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞△ABCの内部に点Pがあり、３AP→＋２BP→＋CP→＝0→を満たしています。
＞（１）APの延長とBCの交点をDとするとき、BD：DC、AP：PDを求めてください。
３AP→＋２BP→＋CP→＝0より、
３ＡＰ＋２（ＡＰ－ＡＢ）＋（ＡＰ－ＡＣ）＝０
６ＡＰ＝２ＡＢ＋ＡＣ
ＡＰ＝(1/3)ＡＢ＋(1/6)ＡＣ　……（１）
ＢＤ：ＤＣ＝ｔ：１－ｔとすると、
ＡＤ＝（１－ｔ）ＡＢ＋ｔＡＣ
Ａ，Ｐ，Ｄは一直線上にあるから、ＡＰ＝ｋＡＤとおける。
ＡＰ＝（１－ｔ）ｋＡＢ＋ｔｋＡＣ　……（２）
（１）（２）を係数比較すると、
（１－ｔ）ｋ＝1/3，ｔｋ＝1/6　より、ｋ＝１／２，ｔ＝１／３
よって、ＢＤ：ＤＣ＝1/3：2/3＝１：２
ＡＰ＝(1/2)ＡＤより、ＡＰ：ＡＤ＝１：２だから、ＡＰ：ＰＤ＝１：１

＞（２）面積の比△ABP：△BCP：△CAPを求めてください。 （途中式もお願いします。）
△ＡＢＤと△ＡＢＣで、Ａを頂点とみると高さが同じだから、面積比＝底辺の比
△ＡＢＤ：△ＡＢＣ＝ＢＤ：ＢＣ＝１：３より、△ＡＢＤ＝(1/3)△ＡＢＣ
△ＡＢＰと△ＡＮＤで、Ｂを頂点と見ると、
△ＡＢＰ：△ＡＢＤ＝ＡＰ：ＡＤ＝１：２より、
△ＡＢＰ＝(1/2)△ＡＢＤ＝(1/2)×(1/3)△ＡＢＣ＝(1/6)△ＡＢＣ
△ＡＣＤと△ＡＢＣで、
△ＡＣＤ：△ＡＢＣ＝ＣＤ：ＢＣ＝２：３より、△ＡＣＤ＝(2/3)△ＡＢＣ
△ＡＣＤと△ＣＡＰで、Ｃを頂点と見ると、
△ＡＣＤと△ＣＡＰ＝ＡＰ：ＡＤ＝１：２より、
△ＣＡＰ＝(1/2)△ＡＣＤ＝(1/2)×(2/3)△ＡＢＣ＝(1/3)△ＡＢＣ
△ＢＣＰ＝△ＡＢＣ－△ＡＢＰ－△ＣＡＰ
＝（１－1/6-1/3）△ＡＢＣ
＝(1/2)△ＡＢＣ
よって、△ABP：△BCP：△CAP＝1/6：1/2：1/3＝１：３：２

図を描いて考えて下さい。

回答No.1

Tacosan

ちょっとくらい自分の頭で考えてもばちは当たらないと思うよ.