背理法を用いた対数の証明問題

質問

「log_(10) 2　（底が10です）は無理数である。」

を背理法をで証明したいのですがやり方がわかりません。

どなたかわかる方いましたら教えてください。

回答No.4

zeta0208 · ベストアンサー

有理数だと仮定すると　log_(10) 2＝n/m　(m　と　n　は互いに素の整数、mはZeroでない)とおける。
これは 10^n/m=2
つまり 10＾n＝2＾m とおける。

ここで左辺を素因数分解すると 2^n×5^nとなり
右辺と左辺で二通りの違った素因数分解できることになり矛盾している。
よって有理数ではない。

素因数分解の一意性を使うところが味噌

回答No.3

asuncion

さらにヒント。
10^n=2^m
という式を見たとき、左辺の一の位の値は？
また、右辺の一の位の値が、左辺の一の位の値と等しくなることがあるか？

回答No.2

mister_moonlight

定石通りにやればいいんじゃないの。
質問者に少しは考える事をしてもらいたいから、答案は完成させないでおく。

それが　有理数だと仮定すると　log_(10) 2＝n/m　(m　と　n　は互いに素の整数)とおける。
常用対数だから　10＾n＝2＾m　。そして、これが成立しない事を示せばよい。
それが成立しないのは、仮定が間違っていたから。よって、無理数だと言える。

(注)
10＾n＝2＾m　。そして、これが成立しない事を示せばよい。
左辺は10の倍数、右辺は2の倍数。その時、等号が成立する事があるか、どうか？
ここから先は、自分で考えたら良い。そこが　この問題の2つ目のポイント。

1つ目は、“有理数だと仮定すると　log_(10) 2＝n/m　(m　と　n　は互いに素の整数)とおける”と、する点。

回答No.1

f272

log_(10) 2が有理数だとして
言い換えると，m，nを互いに素な自然数として
log_(10) 2=m/n
とあらわされるとして，矛盾を導けばよい。

補足

そこから詰まってしまうんです（＞＜）