等角写像の問題です。

質問

等角写像の問題です。w=(2zi-1)/(z+2i)により、|z|=1と|z+5i/4|=3/4の2つの円はどのような図形に写像されるでしょうか。
また、|z+5i/4|=3/4をw=(2zi-1)/(z+2i)により繰り返し写像する。n回写像したときの図形と虚軸の交点の値とnを大きくしたときどのような図形になるか。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

まず最初に
　w=(2zi-1)/(z+2i)
これからzについて解くと
　z=-(2iw+1)/(w-2i) …(1)

[|z|=1の写像]
|z|^2=zz~=1より (z~はzの複素共役数とします)
zz~=(2iw+1)/(w-2i)・((2iw+1)/(w-2i))~
=(2iw+1)/(w-2i)・((2iw+1)~/(w-2i)~)
=(2iw+1)/(w-2i)・((-2iw~+1)/(w~+2i))
=(2iw+1)・(-2iw~+1)/((w-2i)・(w~+2i))
=(1+4ww~+2i(w-w~))/(4+ww~+2i(w-w~))
=1
分母を払って
1+4ww~+2i(w-w~)=4+ww~+2i(w-w~)
3ww~=3
ww~=|w|^2=1
∴|w|=1 …（答え）
これは原点を中心とする半径1の円です。
これはw=u+viとおくと
u^2+v^2=1 …これも（答え）の別表現
とも書けます。

[|z+(5i/4)|=3/4の写像]　…(◆)
|z+(5i/4)|^2=(z+(5i/4))・(z+(5i/4))~=(3/4)^2=9/16
(1)のzより
(z+(5i/4))・(z+(5i/4))~
=(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))・(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))~
=(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))・(-(-2iw~+1)/(w~+2i)-(5i/4))
=(-4(2iw+1)+5i(w-2i))・(-4(-2iw~+1)-5i(w~+2i))
/(16(w-2i)(w~+2i))
=(1/16)(6-3iw)・(6+3iw~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=(9/16)(2-iw)・(2+iw~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=(9/16)(4+ww~-2i(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))
=9/16
従って
(4+ww~-2i(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))=1
分母を払って
4+ww~-2i(w-w~)=ww~+4+2i(w-w~)
2i(w-w~)=0
w-w~=2iIm(w)=0 (Im(w)はwの虚数部を表す)
∴Im(w)=0 …（答え）
w=u+ivとおけば
v=0つまりw=u(実部のみ)
これは写像がw平面の実数軸ということです。

この写像を繰り返すと
改めて
z=x (y=0)つまりz~=zとおくと
[z-z~=0の写像]
を考える。
(1)を代入して
-(2iw+1)/(w-2i)-(-(2iw+1)/(w-2i))~
=-(2iw+1)/(w-2i)-(-(-2iw~+1)/(w~+2i))
=-(2iw+1)/(w-2i)+(-2iw~+1)/(w~+2i)
=(-(2iw+1)(w~+2i)+(-2iw~+1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=(-(2iw+1)(w~+2i)-(2iw~-1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=-((2iw+1)(w~+2i)+(2iw~-1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=-(2i(ww~+1)-4w+w~+2i(ww~+1)-w+4w~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=-(4i(ww~+1)-5(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))
=0
(4i(ww~+1)-5(w-w~))=0
4(|w|^2+1)-10Im(w)=0
|w|^2+1-(5/2)Im(w)=0
w=u+ivとおくと
u^2+v^2+1-(5/2)v=0
u^2+(v-(5/4))^2=(3/4)^2
|w-(5i/4)|=3/4 …(2)（答え）
（中心5i/4,半径3/4の円）
w=u+ivとおいてu,vを使って表せば
u^2+(v-(5/4))^2=(3/4)^2 …(2')(答えの別解)
となる。

更に写像を繰り返すと(◆)のところに戻り繰り返すことになります。

>n回写像したときの図形と虚軸の交点の値とnを大きくしたときどのような図形になるか。

n回写像したときの図形は、実数軸(w=u)の直線または(2)または(2')の方程式で示される円となrます。
nを大きくしたときも図形は同じで、写像は、実軸と円とが交互に繰り返し現れます。
虚軸との交点は
写像か実数軸(v=0)のとき、原点(0,0)となります。
写像が円のとき(0,5/4±3/4)=(0,2)と(0,1/2)になります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.5

ramayana

もう１つ書き忘れてました。複素平面は、平面でなく、無限遠点も付け加えて球面で考えた方が分かりやすいでしょう。北極を無限遠点と考えて、南極を0と考えます。すると、逆数を取る変換は、北半球と南半球を入れ替える変換になります。赤道は、 0 を中心とする半径 1 の円に相当します。ちなみに、実数軸は、東経（or西経） 0 度の経線と 180 度の経線を繋いだ大円になります。

回答No.4

ramayana

「逆数をとる変換はどうやるのでしょうか」

1/z = x + iy （ x と y は実数）、 r = 3/4 とおきます。中心 3i/4 、半径 3/4 の円は、次の式で表わせます。

　　 | z - ir | = r

よって、 x と y が満たすべき条件は、

　　| 1/(x+iy) - ir | = r

です。これから、

　　 y = -1/(2r) = -2/3

を得ます（添付図参照）。

*******

一般に、逆数をとる変換により、

　　0 を通る円は直線に
　　0 を通らない円は円に
　　直線は 0 を通る円に

移動します。直線も円の一種（無限遠点を通る円！）とみなせば、常に円を円に移すことになります。平行移動や定数倍が円を円に移すことは明らかなので、結局、一次変換は、常に円を円に移すことになります。

お礼

そうやるのですね。分かりました。ありがとうございました。

回答No.3

ramayana

失礼しました。ANo.2に添付図をつけるのを忘れてました。

回答No.2

ramayana

別解です。結果は、ANo.1さんと同じになります。

次の[1]、[2]、[3]は、ご存知でしょうか？

[1]　　a, b, c, d を複素数として、 w = (az + b) / (cz + d) のような写像のことを「線形変換（ linear trasformation ）」という。

[2]　　線形変換は、上のa, b, c, d を並べた２行２列行列で表すことができる（添付図の S ）。２つの線形変換の合成は、行列の積に対応する。

[3]　　任意の線形変換は、次の３つの変換の組み合わせで表現できる。

（イ）　平行移動
（ロ）　逆数を取る変換
（ハ）　定数倍する変換

実際、行列 S は、 c≠0 のとき、添付図２行目のような積に分解されます。これを右からみていって、w = (az + b) / (cz + d) は、次の変換を順に施していったものであることが分かります。

（二）　　d/c を加える平行移動
（ホ）　　逆数を取る変換
（へ）　　(bc-ad)/c^2 倍する変換
（ト）　　a/c を加える平行移動

ご質問の w = (2zi-1)/(z+2i) は、添付図の行列 T で表現され、これは、添付図４行目のような積に分解されます。よって、これは、次の変換を順に施していったものです。

（チ）　　2i を加える平行移動
（リ）　　逆数を取る変換
（ヌ）　　3 倍する変換
（ル）　　2i を加える平行移動

******

（円 |z+5i/4|=3/4 の行先）

例えば、円 |z+5i/4|=3/4 の行先を見てみましょう。この円は、（チ）によって、中心 3i/4 、半径 3/4 の円に移ります。そして、（リ）により、Im(z) = -2i/3 の直線に移ります。さらに、（ヌ）により、Im(z) = -2i の直線に移ります。最後に、（ル）により、Im(z) = 0 の直線（実数軸）に移ります。

（円 |z|=1 の行先）

練習のつもりで、上と同じようなことをやってみてください。

（変換 w = (2zi-1)/(z+2i) を n 回実行したとき）

変換 w = (2zi-1)/(z+2i) を n 回実行することは、行列 T^n に対応します。行列T^n を上の（二）（ホ）（へ）（ト）のように分解（or 添付図の２行目のように分解）すれば、自ずと結果が分かります。なお、Tの固有値が i と 3i なので、お決まりの行列の対角化を行えば、T^n の成分は、簡単に計算できるはずです。

お礼

回答ありがとうございます。「そして、（リ）により、Im(z) = -2i/3 の直線に移ります」とありますが、逆数をとる変換はどうやるのでしょうか。