a^0=1 の証明（改）

質問

以前質問し、そこで指摘された所を修正してみました。
間違えてる点があれば、さらに指摘してください。

-- ここから --
指数関数は、以下の規則により定義されている。ただし、底と指数及び値域は実数とする。
(1) a^1 = a
(2) a^p a^q = a^(p+q)
(3) 連続関数である
※定義域は、(3) が満たされる範囲により決定される。

まず、p ≠ 0 での 0^p と 0^0 の関係を確認しておく。

後で述べる理由により (2) を無条件には使えないので、未知の値が１つの場合のみ有効と考える。
・ (1) より 0^1 = 0
・ p > 0, q > 0 で考えて (2),(3) より p > 0 に対し 0^p = 0

未知の値を (2) で求めるには、左辺の a^p として求める方法と、右辺として求める方法が考えられる。
前者の場合 q > 0, p > -q とすると
0^p × 0 = 0
が得られるが、この式から 0^p は求められない。
後者の場合 q > 0, p = -q とすると
0^p × 0 = 0^0
が得られるが、0^p が未知なので、この式から 0^0 は求められない。
よって、既知の 0^p から 0^0 を求める方法は存在しない。

また、q = 0 として
0^p 0^0 = 0^p
が得られるが、p > 0 に対し 0^p = 0 であるから、この式は 0^0 が何であっても成立する。

さて、ここまでの結果により、0^0 を求めるには
0^0 = 定数
という形の規則が新たに必要なことが分かった。

ここからはこの式を求めるために
a^-1 ≠ 0
を前提として考える。
ただし、これを指数関数の定義に加えるという意味ではなく、通常の数学なら成立すべき条件であるから、結果の判定に利用するのである。

a^0 に対し、次の関係式が成り立つ。
a^0 a^0 = a^0 より a^0 (a^0 - 1) = 0
よって、a^0 は 0 または 1 である。

a^0 = 0 とするなら
a^1 a^0 = a^1
から a = a^1 = 0 でなければならないが、また同時に
a^p a^0 = a^p
から p = -1 を含めて a^p = 0 となり、これは前提に反する。
同様の結果は、連立方程式
a^-1 a^1 = a^0
a^-1 a^0 = a^-1
において a^1 = 0 とした場合にも生じる（これが未知数が２つ以上の指数法則を無効とする理由である）。

a^0 = 1 とするなら
a^p a^0 = a^p
は常に成立する。
この場合
0^-1 × 0 = 1
となる必要があるが、これは 0^-1 が実数ではない（＝未定義）ことを示している。
以上により、求めていた規則は
(4) 0^0 = 1 あるいは a^0 = 1
であることが証明された。
-- ここまで --

ところで、勘違いしないように付け加えておくと、これは既存の定義から 0^0 = 1 と証明したのではない。
0^0 を求められるように規則を変えるなら 0^0 = 1 でなければならないという証明である。
ただし、(4) を付け加えるならば 0^0 において連続にはならない。
よって、(3) も同時に変更する必要が生じる。

回答No.12

jmh

> 指数法則を満たすだけで済むのならば、∧（０，－１）＝０という解釈もアリなのです。
>
指数法則？

＃７を書き直しました。

Ｅ＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｒ×Ｒ｜連続性で延長？｝とする。
ＦはＥ⊆Ｆで、（０，０），（０，－１）∈Ｆとする。←∧は（０，－１）でも定義されてる！
ＧはＲ⊆Ｇとする。
∧：Ｆ→Ｇとする。
∧はＥでは冪と一致するとする。（ｘ，ｙ）∈Ｅ→∧（ｘ，ｙ）＝ｘ＾ｙ。
各Ｆ_ａ＝｛ｐ｜（ａ，ｐ）∈Ｆ｝にはＲのに上位互換の加法がある。
ＧにはＲのに上位互換の乗法がある。
∧（ａ，ｐ）・∧（ａ，ｑ）＝∧（ａ，ｐ＋ｑ）とする。
∧（０，－１）≠０とする！
このとき、定理：∧（０，０）＝１。

こうですか？

お礼

定義域は、(3) の規則によって決定されています。

> ＦはＥ⊆Ｆで、（０，０），（０，－１）∈Ｆとする。←∧は（０，－１）でも定義されてる！

（０，－１）∈Ｆ は条件ではありません。
しかし、（０，－１）で連続性があるのなら、定義域でなければなりません。

自由に定義域を狭くすることが出来るなら、「指数関数」は無限に出来てしまいます。
それを防ぐために、(3) を定義域を決めるために使っています。

つまり、
＞※定義域は、(3) が満たされる範囲により決定される。
とは、「指数関数」を一意に決定できるように、(3) が満たされた関数の中で最大の定義域を持つものを、ここで言う「指数関数」と定義しているのです。

私としては、「指数関数」に一意性を持たせるために工夫したのですが、別の方法があれば教えてください。

回答ありがとうございました。

回答No.11

alice_44

←No.10「お礼」欄
＞ ここでの証明は「値域が実数だとどうなるか」ですから、

値域が実数だと、1=0(0^-1) が成立するような 0^-1 の値は存在しないから、
0^0=1 であれば、0^-1 は定義することができない。したがって、
a^-1 が明示的に登場する質問文の証明は、a=0 のときには適用できない。

同じことを何度も、書き飽きたよ。
何度書いても、この点については返信が無いのは、なぜだろう？

…と思っていたら、No.3「補足」欄に、興味深いことが書いてあった。
＞ つまり、a=0 では (1),(2) は成立しない、としてやれば、
＞ 0^0 = (0^p)(0^-p) という変形は出来ませんので、不都合も生じません。
＞ その上で、0^0=1 という規則を加えることは可能ですから、
＞ 当初の目的は達成できる訳です。
(2) とは、指数法則のことだから、要するに、a=0 では指数法則が成り立たない
としてやれば、0^0=1 を加えることは可能ということ。

おや？ No.6「お礼」欄の
＞ 私が指数法則に拘るという意味は、
＞「指数関数の定義域すべてにおいて、指数法則が成立する」
＞ ということです。
は、どうなったのだろう？
指数関数の定義域すべてにおいて、指数法則が成立するものとし、
かつ、a=0 では (2) が成立しないとするのであれば、それは
a=0 を a^p の定義域には含めないということだけれど。

また、0^0 を定義するために、a=0 での (2) を放棄してよいなら、
A No.6 に書いた
＞ 何でもいいなら、0^0 = 1 でも 0^0 = 2 でも 0^0 = 3 でも
＞ いいことになる。君は、その中から、エイヤっと 0^0 = 1 を
＞ 選んだのだろうか？ その辺が解らない。
でもいいことになる。同「お礼」欄に
＞ 最初の値以外は、指数法則から外れているのは明らかです。
＞ たとえ定義域が点であれ、指数法則には意味があります。
と書いたのではなかったか？

結局、君は、
＞ 何を目指して 0^0 を定義するのか？

お礼

> 同じことを何度も、書き飽きたよ。

同感です。

> 指数関数の定義域すべてにおいて、指数法則が成立するものとし、
> かつ、a=0 では (2) が成立しないとするのであれば、それは
> a=0 を a^p の定義域には含めないということだけれど。

通常の指数関数の定義域に加え a=0 かつ p=0 だけが定義域となります。
0^0=1 という定義を加えたのだから、そこが定義域になるのは当然ですね。
そして、定義域では、指数法則が成立しなければなりません。

ちゃんと、順を追って、説明を読んでくださいね。

回答ありがとうございました。

回答No.10

alice_44

←No.7 「お礼」欄
＞ 値域は実数です。拡張しなければならないような事情はありません。
それは、オカシイ。

a^p が a=0, p≦0 を含む定義域上での実数値関数であるとすれば、
前述の如く、指数法則から 0^0 = 0・(0^-1) が証明でき、
0^0 = 1 という結論の下では、0 に逆元 0^-1 が存在することになる。
そのような実数 0^-1 は、存在しない。

前回質問 http://okwave.jp/qa/q7946587.html?pg=2&isShow=open
の No.8 補足の ∧(a,p) のように、a^p の定義域から a=0, p<0 を除けば
この問題は回避できるが、それをやると、0^-1 が存在しないことになるから、
明示的に a^-1 を使った質問文の証明は、a=0 の場合には適用できなくなる。

←No.8 「お礼」欄
＞ だから私は、∧（０，－１）が０の逆元であると信じてるし、
＞ それ以外だと主張する人が現れるなんて心配はしていないのです。

0 に逆元が存在するようにするためには、数体系を拡張して、
最低限「体」ではないように条件を緩めないと、実数体では無理。

で、実数に何らかの拡張をしたとして、0 に逆元が存在するように
できるかどうかは、君次第だから、頑張って拡張を定義してみてね
…と、前から書き続けているんだけど、それが
「値域は実数です。拡張しなければならないような事情はありません」
じゃあねえ。期待薄かな？

お礼

> 0 に逆元が存在するようにするためには、数体系を拡張して、
> 最低限「体」ではないように条件を緩めないと、実数体では無理。

ここでの証明は「値域が実数だとどうなるか」ですから、
実数体を拡張しては、証明内容に意味がなくなります。

> で、実数に何らかの拡張をしたとして、0 に逆元が存在するように
> できるかどうかは、君次第だから、頑張って拡張を定義してみてね
> …と、前から書き続けているんだけど

できるかどうかは検討中ですけど、できたとしてもここには書きません。
そういう面白いことは、また別の質問として確認を求めたいですから。

だから、期待するのはそれで良いですけど、ここに書くことは期待しないでください。

回答ありがとうございました。

回答No.9

alice_44

←No.6 「お礼」欄
私は、直観主義論理の話はしていない。
むしろ、排中律のある世界での話だからこそ、
場合分けを尽くすことに意義がある。

正しい場合分けは、
[1] 所与の条件を満たす a^-1 は、存在しない。
[2-1] a^-1 = 0 である。
[2-2] a^-1 は、0 以外の値である。
であって、
[2-1] を否定することが [2-2] の証明にはならない。

「a^-1 ≠ 0」という記述を、
「a^-1 が存在しない場合も含めて、a^-1 = 0 では無い」と
「a^-1 は存在して、0 以外の値である」の
どちらの意味で使っているのか、明確にしないと
話が曖昧になってしまう。君は、これを
のらくら使い分けているように見える。

質問文中の証明は、明示的に a^-1 を使っているから、
a^-1 が存在しない場合には成り立たない。
a^-1 = 0 とで場合分けしたから a^-1 ≠ 0 だというのなら、
その「a^-1 ≠ 0」は「a^-1 が存在しない場合も含めて、
a^-1 = 0 では無い」のほうの意味であり、
「a^-1 は存在して、0 以外の値である」の根拠にはならない。

お礼

> 正しい場合分けは、
> [1] 所与の条件を満たす a^-1 は、存在しない。
> [2-1] a^-1 = 0 である。
> [2-2] a^-1 は、0 以外の値である。

そろそろ勘違いに気付いてくれませんか？
数学では、「a^-1 ≠ 0」は「a^-1 = 0」の否定の意味以外にはありません。
当然、[1]と[2-2]を含んだ意味になります。

> 「a^-1 ≠ 0」という記述を、
> 「a^-1 が存在しない場合も含めて、a^-1 = 0 では無い」と
> 「a^-1 は存在して、0 以外の値である」の
> どちらの意味で使っているのか、明確にしないと
> 話が曖昧になってしまう。君は、これを
> のらくら使い分けているように見える。

最初から曖昧な話ではないので、明確にする必要がなかったのです。
だからここまであなたが勘違いしてることに気付けなかったとも言えます。

明確にするために書きますが、「a^-1 ≠ 0」という記述は
「a^-1 が存在しない場合も含めて、a^-1 = 0 では無い」
という意味であり、その意味以外で使ったことはありません。

> 「a^-1 は存在して、0 以外の値である」の根拠にはならない。

「a^-1 ≠ 0」をそう解釈する方が悪い。
「a^-1 = 0」の意味は「a^-1 は存在して、0 である」なのですから、
その否定は、「a^-1 は存在しないか、または 0 ではない」となります。

数学では、対象物が存在しないことを空集合で表すこともあります。
あなたは空集合との比較は（比較対象が無いんだから）おかしいと考えるのかもしれませんが、
空集合は空集合以外と等しくはなりません。
今回のことは、それと同様のことです。

回答ありがとうございました。

回答No.8

jmh

> 値域は実数です。
> 拡張しなければならないような事情はありません。

＃７の定理は要するに「関数∧が_ある条件_を満たすならば、∧（０，０）＝１」なのですから、「ある条件」は小さい方が良いと思いますよ。

ところで、「∧（０，－１）≠０」が「通常の数学なら成立すべき条件」なのは、なぜでしょうか。

お礼

> ところで、「∧（０，－１）≠０」が「通常の数学なら成立すべき条件」なのは、なぜでしょうか。

指数法則を満たすだけで済むのならば、∧（０，－１）＝０という解釈もアリなのです。
ところが、以前にここで質問させてもらった時、そう回答する人はいませんでした。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7935969.html
jmh さんも回答しておられるので、覚えておられるかもしれません。

だから私は、∧（０，－１）が０の逆元であると信じてるし、それ以外だと主張する人が現れるなんて心配はしていないのです。

回答ありがとうございました。

回答No.7

jmh

> 0^0 を求められるように規則を変えるなら 0^0 = 1 でなければならないという証明である。

この定理は、こんな↓感じの定理ですか？

Ｅは冪の定義域とする。Ｅ＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｒ×Ｒ｜ここはよく分りません｝。
ＦはＥ⊆Ｆで、（０，０）∈Ｆとする。
ＧはＲ⊆Ｇとする。
∧：Ｆ→Ｇとする。
∧はＥでは冪と一致するとする。（ｘ，ｙ）∈Ｅ→∧（ｘ，ｙ）＝ｘ＾ｙ。
各Ｆ_ａ＝｛ｐ｜（ａ，ｐ）∈Ｆ｝にはＲのに上位互換の加法があるとする。
ＧにはＲのに上位互換の乗法があるとする。
∧（ａ，ｐ）・∧（ａ，ｑ）＝∧（ａ，ｐ＋ｑ）とする。
その他の前提条件（ここもよく分りません）とする。
このとき、定理：∧（０，０）＝１。

お礼

> ＧはＲ⊆Ｇとする。

値域は実数です。
拡張しなければならないような事情はありません。

> 各Ｆ_ａ＝｛ｐ｜（ａ，ｐ）∈Ｆ｝にはＲのに上位互換の加法があるとする。
> ＧにはＲのに上位互換の乗法があるとする。

これも、必要のない仮定だと思います。

> その他の前提条件（ここもよく分りません）とする。

∧（ａ，-1）≠ 0 のことですか？

> このとき、定理：∧（０，０）＝１。

ここはよく分かります。

回答ありがとうございました。

回答No.6

alice_44

a^-1 ≠ 0 か a^-1 = 0 かの一方を選ぼうとした時点で、
a^-1 が定義できないという可能性を根拠無く排除している。
君が、指数法則に拘るのであれば、0^-1 は定義できない。
(正確には、何らかの「体」の中では、指数法則と両立する
0^-1 を定義できない。このことは証明済み。)

0^0 において、連続性にも拘らず、指数法則にも拘らない
というのなら、何を目指して 0^0 を定義するのか？
何でもいいなら、0^0 = 1 でも 0^0 = 2 でも 0^0 = 3 でも
いいことになる。君は、その中から、エイヤっと 0^0 = 1 を
選んだのだろうか？ その辺が解らない。

質問文の証明を正当化できる方法があるとすれば、
0^-1 の値が定義でき、かつ指数法則が保たれるような
実数の拡張がうまく定義できるかどうか次第だと思うが…
できるといいね。

お礼

> a^-1 ≠ 0 か a^-1 = 0 かの一方を選ぼうとした時点で、
> a^-1 が定義できないという可能性を根拠無く排除している。

「a^-1 が定義できない」は「a^-1 ≠ 0」に含まれているというのが私の見解です。
「1/0 が定義できない」は「1/0 ≠ 0」ですから。

「a^-1 ≠ 0」は「a^-1 = 0」の否定であり、「a^-1 = 0」が偽なら「a^-1 ≠ 0」は真です。
そして、「a^-1 = 0」であるためには、「a^-1が定義できる」が前提になります。
そうでなければ、「0が定義できる」と同じな訳がありません。

あなたの、真と偽の他にもう一つの状態を作ろうと考えてる数学は、とても奇異に感じます。
「等しい」の否定は「異なる」であり、「異なる」の否定は「等しい」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%BC%8F

> 0^0 において、連続性にも拘らず、指数法則にも拘らない
> というのなら、何を目指して 0^0 を定義するのか？

私が指数法則に拘るという意味は、
「指数関数の定義域すべてにおいて、指数法則が成立する」
ということです。
連続性の方には、拘りはまったくありません。

> 何でもいいなら、0^0 = 1 でも 0^0 = 2 でも 0^0 = 3 でも
> いいことになる。

最初の値以外は、指数法則から外れているのは明らかです。
たとえ定義域が点であれ、指数法則には意味があります。

回答ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

「悪魔の証明」という言葉を知っているかな？
自分の主張を証明せず、相手に否定の証明を要求する
議論のやり方は、大昔から、詐術の基本として有名で
名前が付いている。

質問文中の証明には、a^-1 が登場しており、
a^-1 が定義できないような a には適用できない。
君が a^b の定義の中心に据えたがっている指数法則から
0^0 = 0・(0^-1) が導けることは、既に示した。
0^0 = 1 とするなら、1 = 0・(0^-1) だということになる。
そのような 0^-1 の値は、複素数の範囲には存在しない。
ここまでは、証明済み。

探す範囲を広げて、0^-1 の値が実数を拡張した何らかの
数体系の元だとしても、その体系が「体」を成すならば、
上式を満たす 0^-1 の値は存在できない。
これは、代数の初歩。

体であることとか、分配法則が成り立つこととか、その他
様々な性質を放棄して、1 = 0・x となる x があるような
数体系を定義することが絶対に不可能か？といえば、
そんなことは知らん。

ただ、そういう体系が定義できると君が主張するのならば、
その立証責任は君にある。

そのような体系を定義し、その体系上での計算法則を調べ、
その法則の下で、件の証明が依然として成り立つことを
示さない限りは、質問文の証明には不備がある。
(どうも、この点が理解できていないようだが。)

数体系を拡張すると、計算法則の数は減る傾向があるから、
0^-1 の存在する体系上で、冒頭の証明が同じように実行
できるかどうかも、ちゃんと検証しなければならない。

私が繰り返し述べているのは、「質問文の証明には不備がある」
から、「必然性」は未だ示されていない…ということだ。

「必然性」を示すことが絶対に不可能だとは言っていない
(から、その立証責任は私には無い)し、
＞ もっとマシな証明を探せ。それが無いとは限らんから。
とも書いている。質問文の証明では、ダメだというだけだ。
(そのことは、論証した。)

お礼

> 「悪魔の証明」という言葉を知っているかな？
> 自分の主張を証明せず、相手に否定の証明を要求する
> 議論のやり方は、大昔から、詐術の基本として有名で
> 名前が付いている。

私は、ただ、あなたの意見が理解できなくて、質問していたということです。
立証責任が私にあることは、この質問の題名からも明らかですのでご安心ください。

> 質問文中の証明には、a^-1 が登場しており、
> a^-1 が定義できないような a には適用できない。

これは、まだ理解できない部分ですね。
1/(x-1) ≠ 0
y = x + 1
x = 1
という方程式を解く場合、y = 2 と答られるのでは？
最初の式は、x が 1 であっても真。
何の問題もないと思います。

それとも、1/(x-1) が定義できないと、0 と等しいことになりますか？

> 君が a^b の定義の中心に据えたがっている指数法則から
> 0^0 = 0・(0^-1) が導けることは、既に示した。
> 0^0 = 1 とするなら、1 = 0・(0^-1) だということになる。
> そのような 0^-1 の値は、複素数の範囲には存在しない。

a=0 に対して、指数法則が適用できると仮定するなら、そうですね。

> ただ、そういう体系が定義できると君が主張するのならば、
> その立証責任は君にある。

検討中です。

> 数体系を拡張すると、計算法則の数は減る傾向があるから、
> 0^-1 の存在する体系上で、冒頭の証明が同じように実行
> できるかどうかも、ちゃんと検証しなければならない。

同じ証明にはなりません。
(0^-1)^-1 = 0
ですから、a^-1 ≠ 0 という前提は使えません。

さて、ここからが私が言いたいことの本題です。

１．あなたは a^-1 ≠ 0 という前提を否定していない。

２．a=0 に対して、指数法則が適用できると仮定するなら、
a^-1 = 0 となることを否定していない。

３．両方を受け入れることは出来ないから、２の仮定は誤りと考える。
指数法則が使えなければ、0^p を求める方法はなくなる。

４．1 = 0・(0^-1) が成立する必要がなくなるので、
前提に反しない方の 0^0=1 を規則として追加する。

どうでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

＞「0^0=1 を加えなければならない必然性がある」という意味ならば、
＞ 私はまったくそんなことは言ってません。
＞「加えるならば、0^0=1 でなければならない必然性がある」との違いは
＞ 理解出来ませんか？

その点を誤解したつもりはないし、
誤解したと思わせる文章を書いた覚えもない。
話を変えようとしてないか？

A No.3 で言っているのは…
「0^0=1 を加えたいよね！」はオカシナ考えだとは思わないが、それを
「加えるならば、0^0=1 でなければならない」にすり替えるのはオカシイ。
特に、質問文中の「必然性がある」ことの証明は、明らかに間違っている。
証明したいなら、もっとマシな証明を探せ。それが無いとは限らんから。
…ということ。

＞「定義できない」と「実数ではない」を区別して使っていますか？
＞ 上の式から分かるのは、単に「実数ではない」ということですね。
＞ 実数をどんなに拡張しても「定義できない」と言いたいのならば、
＞ それが理解できるように説明してください。

これは、論証責任の転嫁で、議論に値しない。
実数を拡張して、指数法則と 0^-1 の存在が両立するような数体系が
作れると主張したいなら、君がそれをやって見せなければならない。
可能であることを証明せずに、それを認めない相手に不可能の証明を
要求するのは、フェアではない。

それを証明するまでは、質問文の a^0=1 の証明が a=0 には適用できない
ことは、揺るがないのだし。

お礼

> その点を誤解したつもりはないし、
> 誤解したと思わせる文章を書いた覚えもない。

ならいいです。失礼しました。

> 可能であることを証明せずに、それを認めない相手に不可能の証明を
> 要求するのは、フェアではない。

私は
＞＞ 実数をどんなに拡張しても「定義できない」と言いたいのならば、
という条件を付けていましたが、まさか本当にそうだったのですか？

そう解釈する以外に、「フェアではない」と言われる理由は思い付きませんが、
そうすると、あなたは「定義できない」かどうか分からずに、そう言ったということになります。

あゝ、そうか。根拠もなく「定義できない」と思った、ということですね？
であれば、これ以上は追求しません。

それにしても、「指数法則と 0^-1 の存在が両立するような数体系が作れる」というのは、私の主張ではないと思いますよ。
それはあなたが勝手に付けた条件であり、私はその必要を認めません。
0^-1 が実数でないということと、実数以外が存在するということは、同じ意味ではありません。
整数を否定したからって、実数の存在を証明したことにはならないでしょう？

回答ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

0^0 = 1 を加えて a^b を拡張する…という考えには、
ちょっと便利な面もあり、特に論理的な破綻もない。
したければ、そう拡張すればよいし、それを支持する
有名人も多い。(数学者より、計算機学者に多いようだが。)
要するに、それは好みの問題だ。
しかし、「そうしなければならない必然性がある」という
妄想には、さっぱり同意できない。
殊に、その「必然性」を示す証明が、間違っている場合には。

もう何度も補足要求をしていて、返事が返ってこないのが、
以前から(今回も)質問文に書かれている a^0 = 1 の証明が、
a = 0 の場合には適用できないことをどう思うのか？という点だ。

0^0 = 1 を加えて a^b を拡張しても、指数法則 (2) が保たれる
ためには、正数 p に対して 1 = 0^0 = (0^p)(0^-p) = 0・(0^-p)
であることにより、0 の負数冪が定義できない。

一方、質問文の証明には、a^-1 が登場している。
つまり、a = 0 の場合には、この証明は成り立たない。

a ≠ 0 のとき a^0 = 1 であることが証明できたから、
0^0 = 1 には必然性がある…　では、いくら何でも筋が通らない。

＞ ＞(前回 A No.36 も参照。前回とうとう返事が得られなかったが、
＞ ＞存在しない 0^-1 を証明に使うことについては、どう思うの？)
＞ 0^-1 が存在しないからって、それが実数ではないことは明らかです。
＞ つまり、０でないことも明らかなのでは？

では、答えになっていないのだ。
0^-1 = 0 だろうなんて、誰一人言っていないのだし。

お礼

> 0^0 = 1 を加えて a^b を拡張する…という考えには、
> ちょっと便利な面もあり、特に論理的な破綻もない。

私もそう思います。

> しかし、「そうしなければならない必然性がある」という
> 妄想には、さっぱり同意できない。

「0^0=1 を加えなければならない必然性がある」という意味ならば、私はまったくそんなことは言ってません。
「加えるならば、0^0=1 でなければならない必然性がある」との違いは理解出来ませんか？

> 0^0 = 1 を加えて a^b を拡張しても、指数法則 (2) が保たれる
> ためには、正数 p に対して 1 = 0^0 = (0^p)(0^-p) = 0・(0^-p)
> であることにより、0 の負数冪が定義できない。

「定義できない」と「実数ではない」を区別して使っていますか？
上の式から分かるのは、単に「実数ではない」ということですね。
実数をどんなに拡張しても「定義できない」と言いたいのならば、それが理解できるように説明してください。
もちろん、分配法則が成立することが前提とかはナシで。

> 一方、質問文の証明には、a^-1 が登場している。
> つまり、a = 0 の場合には、この証明は成り立たない。

#2で例を示したように、x が整数でないからと言って、
整数との比較を制限しなければならない理由はありません。

a^-1 が実数でないからと言って、実数との比較を制限する理由もないでしょう。

あると言いたいのなら、この２つにどういう違いがあるのか説明してください。

> a ≠ 0 のとき a^0 = 1 であることが証明できたから、
> 0^0 = 1 には必然性がある…　では、いくら何でも筋が通らない。

そんなつもりはまったく無いんですけどね。
ちゃんと a = a^1 = 0 と明記してますよ。
その上で、a^0=0 は前提に反すると続けています。
a=0 が証明に含まれているのは明らかなのでは？

> 0^-1 = 0 だろうなんて、誰一人言っていないのだし。

そうでないことはご存知ですよね？
何を根拠に言ってるんですか？
もし、指数関数の定義からというのなら、証明できますか？

回答ありがとうございました。

補足

なんとなく、一つ勘違いしてそうな所が見えてきました。

> 0^0 = 1 を加えて a^b を拡張しても、指数法則 (2) が保たれる
> ためには、正数 p に対して 1 = 0^0 = (0^p)(0^-p) = 0・(0^-p)
> であることにより、0 の負数冪が定義できない。

a=0 では (2) は保たれないのではないか、ということですね？
その場合、正数 p に対し 0^p=0 ということも怪しくなります。
つまり、a=0 では (1),(2) は成立しない、としてやれば、
0^0 = (0^p)(0^-p) という変形は出来ませんので、不都合も生じません。

その上で、0^0=1 という規則を加えることは可能ですから、
当初の目的は達成できる訳です。