a^0=1 の証明（改）

質問

以前質問し、そこで指摘された所を修正してみました。
間違えてる点があれば、さらに指摘してください。

-- ここから --
指数関数は、以下の規則により定義されている。ただし、底と指数及び値域は実数とする。
(1) a^1 = a
(2) a^p a^q = a^(p+q)
(3) 連続関数である
※定義域は、(3) が満たされる範囲により決定される。

まず、p ≠ 0 での 0^p と 0^0 の関係を確認しておく。

後で述べる理由により (2) を無条件には使えないので、未知の値が１つの場合のみ有効と考える。
・ (1) より 0^1 = 0
・ p > 0, q > 0 で考えて (2),(3) より p > 0 に対し 0^p = 0

未知の値を (2) で求めるには、左辺の a^p として求める方法と、右辺として求める方法が考えられる。
前者の場合 q > 0, p > -q とすると
0^p × 0 = 0
が得られるが、この式から 0^p は求められない。
後者の場合 q > 0, p = -q とすると
0^p × 0 = 0^0
が得られるが、0^p が未知なので、この式から 0^0 は求められない。
よって、既知の 0^p から 0^0 を求める方法は存在しない。

また、q = 0 として
0^p 0^0 = 0^p
が得られるが、p > 0 に対し 0^p = 0 であるから、この式は 0^0 が何であっても成立する。

さて、ここまでの結果により、0^0 を求めるには
0^0 = 定数
という形の規則が新たに必要なことが分かった。

ここからはこの式を求めるために
a^-1 ≠ 0
を前提として考える。
ただし、これを指数関数の定義に加えるという意味ではなく、通常の数学なら成立すべき条件であるから、結果の判定に利用するのである。

a^0 に対し、次の関係式が成り立つ。
a^0 a^0 = a^0 より a^0 (a^0 - 1) = 0
よって、a^0 は 0 または 1 である。

a^0 = 0 とするなら
a^1 a^0 = a^1
から a = a^1 = 0 でなければならないが、また同時に
a^p a^0 = a^p
から p = -1 を含めて a^p = 0 となり、これは前提に反する。
同様の結果は、連立方程式
a^-1 a^1 = a^0
a^-1 a^0 = a^-1
において a^1 = 0 とした場合にも生じる（これが未知数が２つ以上の指数法則を無効とする理由である）。

a^0 = 1 とするなら
a^p a^0 = a^p
は常に成立する。
この場合
0^-1 × 0 = 1
となる必要があるが、これは 0^-1 が実数ではない（＝未定義）ことを示している。
以上により、求めていた規則は
(4) 0^0 = 1 あるいは a^0 = 1
であることが証明された。
-- ここまで --

ところで、勘違いしないように付け加えておくと、これは既存の定義から 0^0 = 1 と証明したのではない。
0^0 を求められるように規則を変えるなら 0^0 = 1 でなければならないという証明である。
ただし、(4) を付け加えるならば 0^0 において連続にはならない。
よって、(3) も同時に変更する必要が生じる。

回答No.2

alice_44

＞ (1) a^1 = a
＞ (2) a^p a^q = a^(p+q)
＞ (3) 連続関数である
＞ ※定義域は、(3) が満たされる範囲により決定される。

＞ ただし、(4) を付け加えるならば 0^0 において連続にはならない。

これは、(1)～(3) によって a^p を定義するならば、
0^0 は定義域外である… すなわち、0^0 は定義されない
ってことが証明されたんでないの？

だから、0^0 = 1 としたい人にとっては、
＞ よって、(3) も同時に変更する必要が生じる。

では、代わりに、どのように a^p を定義するのか。
それが、↓ の No.8 補足 じゃないかと思うんだが。
http://okwave.jp/qa/q7946587.html

要するに、0^0 = 1 と定義すれば 0^0 = 1 であるということ。
証明もへったくれもない。ただ、そうしたいという主張に過ぎない。
(前回 A No.36 も参照。前回とうとう返事が得られなかったが、
存在しない 0^-1 を証明に使うことについては、どう思うの？)

←A No.1
＞ そうしないと、a^b の２変数関数が連続にならないからです。

それは、ダウト。
lim[a→0] a^0 = 1
lim[b→0] 0^b = 0　だから、0^0 の値をどのように定義しても、
a^b は２変数関数として連続にはならない。

(3) は、不明瞭だが、どうやら a^b の b についての偏連続性
のことを要っているようだ。だとすれば、
0^0 = 1 ではなく、むしろ 0^0 = 0 を定義に加えることで、
定義域閉端での右連続性 lim[b→+0] 0^b = 0 を含めて
偏連続性が保たれる。

0^0 = 1 を定義に加えて保たれるのは、a^b の a についての偏連続性
のほうである。

お礼

> これは、(1)～(3) によって a^p を定義するならば、
> 0^0 は定義域外である… すなわち、0^0 は定義されない
> ってことが証明されたんでないの？

その通りですね。

> だから、0^0 = 1 としたい人にとっては、
> > よって、(3) も同時に変更する必要が生じる。

私の考えと一致ですね。

ちなみに、(4) を加えた場合の一番安易な (3) の修正案は、
(3)' 0^0 を除き、連続関数である。
ですかね。

> 要するに、0^0 = 1 と定義すれば 0^0 = 1 であるということ。
> 証明もへったくれもない。ただ、そうしたいという主張に過ぎない。

「0^0 = 1 と定義すれば 0^0 = 1 である」というのが無意味かどうかは好みの問題に過ぎない。
そして、その拡張によって不都合が生じるかどうかは、証明によってしか分からないのでは？
それとも、あなたにとっては「0^0 = 2 と定義すれば 0^0 = 2 である」とも言えるのですか？
指数法則に従わない指数関数を、私なら拒否しますが。

> (前回 A No.36 も参照。前回とうとう返事が得られなかったが、
> 存在しない 0^-1 を証明に使うことについては、どう思うの？)

0^-1 が存在しないからって、それが実数ではないことは明らかです。
つまり、０でないことも明らかなのでは？

真偽が不明というのならともかく、それが明らかであれば問題ないと思います。

例を書きます。
整数x を使った以下の方程式を考えます。
x^2 = 2
当然解はありませんから、x は未定義です。
では、x ≠ 0 という式をこれに加えてはいけませんか？

> (3) は、不明瞭だが、どうやら a^b の b についての偏連続性
> のことを要っているようだ。

両方の偏連続性に対して言ってることです。
片方の偏連続性を優先すれば、もう片方の偏連続性は保たれませんから、それを防ぐ意味で。
もちろん、通常の指数関数の定義とは異なっていることは意識しています。

回答No.1

l_____________l

「a^0=1 の証明」という題はそもそもおかしい。
a^0が１になるのではなく、a^0は１と定義しているだけです。
そうしないと、a^bの２変数関数が連続にならないからです。
そのことがわかりやすく説明されているホームページがありましたので、
参考URLとして示しましたので読んでみてください。

また、a^0が１であることを示す説明の１例は次の通りです。

a^b=a^(0+b)
　　=a^0・a^b

なので

a^0・a^b=a^b　　　(1)

となり、(1)式の両辺をa^bで割って（ただし、a^b≠0）

a^0=1

となります。

なお、a^bを考えるとき、aが０の場合は除外しなければいけません。
なぜなら、aが０で 0<b ならa^bは０になりますが、
aが０で b<0 のとき、たとえば b=-1 とすると、

0^(-1) = 1/(0^1) = 1/0

となってしまい、０で割ることになってしまうからです。

また、a も b も０のとき、すなわち 0^0 は通常は定義されていません。
実際、関数電卓でこれを計算させるとエラーになります。
ただ、0^0=1 と定義されていたり、0^0=1 と定義する場合もあるようです。
しかし、これは計算結果ではなく、あくまでも「定義」しているのです。
これに関しては、wikipediaの「０の０乗」を読んでみてください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97

なので、fusem23さんの説明中に 0^0 が出てきている所は適切ではありません。

参考URL：

http://www3.ocn.ne.jp/~fukiyo/math-qa/qa-0jou.htm

お礼

> 「a^0=1 の証明」という題はそもそもおかしい。
> a^0が１になるのではなく、a^0は１と定義しているだけです。

a^0=1 と定義しなければならない、という証明ですから、おかしくはないでしょう。

> なお、a^bを考えるとき、aが０の場合は除外しなければいけません。
> なぜなら、aが０で 0<b ならa^bは０になりますが、
> aが０で b<0 のとき、たとえば b=-1 とすると、
>
> 0^(-1) = 1/(0^1) = 1/0
>
> となってしまい、０で割ることになってしまうからです。

0^(-1) が 1/0 だとするには、そういう定義を持ち込む必要があります。
つまり、あなたは勝手に a^(-1) = 1/a という規則を追加してしまっています。
あるいは、1/(0^1) という表現を見ると、0^0=1 と仮定しているのもしれません。
どちらもaが０でなければ正しいですが、明らかにaが０の場合は除外しなければいけません。

なお、通常の数学においては、あなたの考えは正しいです。
aの逆数はa^(-1) と書くように決められていますからね。
でもこれは、べき乗の定義として行われていることであって、少なくとも指数関数において根拠となるものではありません。

> また、a も b も０のとき、すなわち 0^0 は通常は定義されていません。
> 実際、関数電卓でこれを計算させるとエラーになります。
> ただ、0^0=1 と定義されていたり、0^0=1 と定義する場合もあるようです。
> しかし、これは計算結果ではなく、あくまでも「定義」しているのです。

0^0 が通常定義されていないことは知っています。
そして、0^0=1 と定義しなければ、0^0 が計算できないことも正しいです。
ただし、0^0=1 以外の定義が不可能なことは知られているとは言えません。
今回の証明で言っているのは、その部分です。

回答ありがとうございました。