核空間と像空間の求め方

質問

8×8正方行列
A=
[1 -1 1 0 -1 1 -1 1]
[1 -2 3 0 -4 0 -2 0]
[-2 1 -2 0 1 -2 1 -2]
[-1 4 -4 0 7 0 4 0]
[-3 1 -3 0 1 -3 1 -3]
[-2 6 -5 0 9 -1 6 -1]
[3 1 1 0 3 4 1 4]
[3 -6 6 0 -9 2 -6 2]
とします。

この写像の核Ker(A)と像Im(A)を求めて下さい。

回答No.8

alice_44 · ベストアンサー

Ker A の基底を求める前に rank A や dim Ker A を求める
必要はないように思う。ただ普通に Ap = 0 を解けば、
p1 ～ p8 のうち何個かを使って残りの何個かが表される。

p = p3(-1,0,1,0,1,0,-1,0)
　+ p2(0,-1,0,0,0,0,1,0)
　+ p4(0,0,0,1,0,0,0,0)
　+ p6(0,0,0,0,0,1,0,-1)
と解けたのであれば、
{ (-1,0,1,0,1,0,-1,0),
　(0,-1,0,0,0,0,1,0),
　(0,0,0,1,0,0,0,0),
　(0,0,0,0,0,1,0,-1) }
が Ker A の基底を成す。
結果的に、dim Ker A = 4 であることも判る。

Ker に関して、貴方の答えは合っているようだ。
8 次ともなると、私も計算に自信は無いが、前述の MAXIMA によると、
rank A = 4 であり、従って dim Ker A = 4。
貴方の 4 本のベクトルは Ap = 0 の p に代入すると成立しているし。

Im のほうは、計算間違いがあるようだ。
A の右側に第 9, 10, 11, 12 列として
貴方の 4 本のベクトルを並べた 8 行 12 列の行列 B は、
これも MAXIMA によると、rank B = 7 になる。
答えが合っていれば、rank B = 4 でなければならないが。
どこで間違いが入ったのかは、探す気になれない。

Im の解法は、もっとシンプルに、A の列を順に試して
基底に入るかどうか調べていったらいいと思う。
Ker を求めたとき、dim Ker A = 4 は判っているから、
dim Im A = 8-4 である。A の列の中から、一次独立な
4 本を拾い出せばいい。

まず、第 1, 2 列と第 2 を採って、
{ (1,1,-2,-1,-3,-2,3,3), (-1,-2,1,4,1,6,1,-6) }。
これが一次独立であることは、ひと目で判る。

次に、第 3 列を加えて 8 行 3 列の行列 C3 にする。
これも rank C3 = 3 であることは、暗算で判る。

第 4 列は、零ベクトルなので、加えてみるまでもない。

A の第 1, 2, 3, 5 列からなる 8 行 4 列の行列 C4 を作る。
計算してみると rank C4 = 3 なので、
第 5 列は第 1, 2, 3 列に従属。基底には使えない。

A の第 1, 2, 3, 6 列からなる 8 行 4 列の行列 C4' を作る。
計算してみると rank C4' = 4 なので、
第 6 列は第 1, 2, 3 列に独立と判る。

結局、A の第 1, 2, 3, 6 列を採って、
{ (1,1,-2,-1,-3,-2,3,3), (-1,-2,1,4,1,6,1,-6),
　(1,3,-2,-4,-3,-5,1,6), (1,0,-2,0,-3,-1,4,2) }
が、Im A の基底の一例となる。

MAXIMA の参考→ http://phys.hirosaki-u.ac.jp/wiki.cgi/maxima

回答No.2

alice_44

8 次ともなると、たいへんな計算だねえ。

まず、核のほうからやる。
Ax=0 を解けばいいのだから、面倒だけれど、
消去法で丁寧にやれば、中学生でもできる。

核が求まると、次元定理から像の次元 n が判る。
あとは、行列の列から n 本の一次独立なもの
を探し出せば、それが像の基底になる。
この部分は、試行錯誤かな。
1 本づつ、取り出す列の組に加えてみて、
加えても一次独立だったら本当に加えることを
n 本になるまで繰り返す。

実際にやるのは、勘弁。きっと計算間違いする。
答え合わせなら、maxima とか、パソコンに
やらせてみては、どうだろう？

補足

できました。

8×8正方行列
A=
[1 -1 1 0 -1 1 -1 1]
[1 -2 3 0 -4 0 -2 0]
[-2 1 -2 0 1 -2 1 -2]
[-1 4 -4 0 7 0 4 0]
[-3 1 -3 0 1 -3 1 -3]
[-2 6 -5 0 9 -1 6 -1]
[3 1 1 0 3 4 1 4]
[3 -6 6 0 -9 2 -6 2]
とします。

この写像の核Ker(A)と像Im(A)を求めて下さい。

[ 1 -1 1 0 -1 1 -1 1]
[ 1 -2 3 0 -4 0 -2 0]
[-2 1 -2 0 1 -2 1 -2]
[-1 4 -4 0 7 0 4 0]
[-3 1 -3 0 1 -3 1 -3]
[-2 6 -5 0 9 -1 6 -1]
[ 3 1 1 0 3 4 1 4]
[ 3 -6 6 0 -9 2 -6 2]
⇩(行を基本変形すると)計算略
[1 0 0 0 1 0 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 0]
[0 0 1 0 -1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0 1]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0]

よって、rank(A)=4=dim(ImA)
dim(KerA)=8-4=4
だから、基底ベクトルは4つ。
p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8]^t
(^tは、転置行列)と書く。
p=(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8)
(列ベクトルの記述です)
として、基底ベクトルを求める

Ap=0
[1 0 0 0 1 0 0 0]p=0
[0 1 0 0 1 0 1 0]p=0
[0 0 1 0 -1 0 0 0]p=0
[0 0 0 0 0 1 0 1]p=0

p1+p5=0
p2+p5+p7=0
p3-p5=0
p6+p8=0
p4=任意

t,s,u,vを媒介変数(4次だから媒介変数は4つ)として
p1=-t
p2=-s
p3=t
p4=u
p5=t
p6=v
p7=s-t
p8=-v
とすると、
p=t(-1,0,1,0,1,0,-1,0)+s(0,-1,0,0,0,0,1,0)+u(0,0,0,1,0,0,0,0)+v(0,0,0,0,0,1,0,-1)

よってKerAは、列ベクトル
(-1,0,1,0,1,0,-1,0)
(0,-1,0,0,0,0,1,0)
(0,0,0,1,0,0,0,0)
(0,0,0,0,0,1,0,-1)
の4つの基底ベクトルで生成されるベクトル空間。

次にImAを求める。

[ 1 -1 1 0 -1 1 -1 1]
[ 1 -2 3 0 -4 0 -2 0]
[-2 1 -2 0 1 -2 1 -2]
[-1 4 -4 0 7 0 4 0]
[-3 1 -3 0 1 -3 1 -3]
[-2 6 -5 0 9 -1 6 -1]
[ 3 1 1 0 3 4 1 4]
[ 3 -6 6 0 -9 2 -6 2]
列を基本変形する。
4列目が零ベクトルである。
7列目とが2列目が全く同じである。8列目と6列目が全く同じである。

1列目,2列目,3列目,5列目,6列目が残る。
これをあらためて
1列～5列とすると、
[ 1 -1 1 -1 1 ]
[ 1 -2 3 -4 0 ]
[-2 1 -2 1 -2]
[-1 4 -4 7 0]
[-3 1 -3 1 -3]
[-2 6 -5 9 -1]
[ 3 1 1 3 4]
[ 3 -6 6 -9 2 ]
4列目に(4列目-1列目)をする。
3列目に(3列目-2列目)をする。
1 -1 2 -2 1
1 -2 5 -5 0
-2 1 -3 3 -2
-1 4 -8 8 0
-3 1 -4 4 -3
-2 6 -11 11 -1
3 1 0 0 4
3 -6 12 -12 2
これをあらためて1列～5列とすると
3列目=3列目+4列目

1 -1 2 1
1 -2 5 0
-2 1 -3 -2
-1 4 -8 0
-3 1 -4 -3
-2 6 -11 -1
3 1 0 4
3 -6 12 2
の4列のベクトルが残る。
これを出来るだけ簡単な数字にすると、
3列目=3列目+2列目

1 -1 1 1
1 -2 3 0
-2 1 -2 -2
-1 4 -4 0
-3 1 -3 -3
-2 6 -5 -1
3 1 1 4
3 -6 6 2

2列目=2列目+3列目
1は目=1列目-4列目
0 0 1 1
1 1 3 0
0 -1 -2 -2
-1 0 -4 0
0 -2 -3 -3
-1 -1 -5 -1
-1 2 1 4
1 0 6 2
3列目=3列目-4列目
0 0 0 1
1 1 3 0
0 -1 0 -2
-1 0 -4 0
0 -2 0 -3
-1 -1 -4 -1
-1 2 -3 4
1 0 4 2

3列目=3列目-1列目×3
0 0 0 1
1 1 0 0
0 -1 0 -2
-1 0 0 0
0 -2 0 -3
-1 -1 -1 -1
-1 2 0 4
1 0 1 2
4列目=4列目-2列目
0 0 0 1
1 1 0 -1
0 -1 0 0
-1 0 0 0
0 -2 0 1
-1 -1 -1 0
-1 2 0 2
1 0 1 2

１列目×(-1)
2列目×(-1)

0 0 0 1
-1 -1 0 -1
0 1 0 0
1 0 0 0
0 2 0 1
1 1 -1 0
1 -2 0 2
-1 0 1 2

よって、
ImAは、
列ベクトル
(0,-1,0,1,0,1,1,-1)
(0,-1,1,0,2,1,-2,0)
(0,0,0,0,0,-1,0,1)
(1,-1,0,0,1,0,2,2)
を基底ベクトルで生成されるベクトル空間。

回答No.1

misumiss

A は行列であって, 写像ではありません.
始集合と終集合が与えられていないのに, 核や像を求めることはできません.
Ker(A) と Im(A) の定義を, きちんと述べてください.
さらに, どこがわからないで質問しているのかを, はっきり伝えてください.

補足

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈R^n|Ax=0}
ImA={Ax∈R^m|x∈R^n}と定義します。