像空間、和空間について

質問

行列Ａを考える。　a∈Ｒ

1 3 2 3
-2 2 -5 5 =A とします。（４次の正方行列です）
-2 0 a 1
-4 -5 -5 -3

４次の実正方行列Ｂ、Ｃを行列Ａに対して
Ａ＝Ｂ＋Ｃを満たす行列とする。
また像空間Im(A),Im(B) Im(C)と和空間　Im(B)+Im(C)を次のように定義する。

Im(A)={Ax|x∈R^4} Im(B)={Bx|x∈R^4} Im(C)={Cx|x∈R^4}
Im(B)+Im(C)={b+c|b∈Im(B),c∈Im(C)}

この時
(1)Ｉm(A)⊆Im(B)+Im(C)を示せ

(2)Im(A)の次元を調べよ

(3)Im(A)=Im(B)+Im(C)となるaの十分条件を求めよ

(1),(3)の解き方がわかりません。

(2)はＡを行基本変形して
線形独立の基底を数を調べればよいと思ったのですが・・・

何よりの疑問はＢ、Ｃの行列がわからないので
どうすればいいかわからないのです
Ａ＝Ｂ＋Ｃより　Ｂ，Ｃを勝手に作ろうと思いましたがaという変数もありますし、
Ｂ，Ｃを作った後もどうするか・・・　ってところです

解答お願いします

回答No.2

alice_44

(1)
A = B + C てのは、∀x, Ax = Bx + Cx てことなので、
ImA の任意の元 Ax が ImB の元 Bx と ImC の元 Cx の和
で表される。それが、すなわち ImA ⊆ ImB + ImC てこと。

(2)
そのとおり、rankA を計算する。a の値によって違うでしょうね。

(3)
ImA ⊆ ImB + ImC であることは判っているので、
ImB + ImC の元で ImA をハミ出すものが無ければいい。
ImA = R^4 すなわち rankA = 4 であれば、
ハミ出しようがないので十分。
もし rankA < 4 であれば、ImB ⊆ ImA ではないような B を
勝手にもってきて C = A - B とすれることで、
ImA ≠ ImB + ImC にすることができる。

補足

初めに、回答ありがとうございます。

(1)は全てのxにおいて、A=B+C　AX=BX+CXである。
結局はAの像空間の要素が Bの像空間の要素+Cの像空間の要素の和であらわされる。
これはすなはち、部分集合のことですよね。

(3)十分条件なんで　左から右への関係を見るんですよね
ここがわからないんですが　なぜ階級が4ならば良いのですか？
3,2,1とかではダメなのですか？　

お願いします

回答No.1

Tacosan

(1) は定義に従うだけ.

(3) は... (1) と (2) から (ほぼ) 自明な十分条件が出るけど, それでいいのかなぁ.... 見た感じ必要十分条件っぽいんでそれだけのような気もするけど....