線形代数の問題で質問です。

質問

線形代数の問題で質問です。

次の問題の１、２、５はできたのですが、３、４、６がわかりません。
どなたか３、４、６をお教え頂けませんでしょうか。よろしくお願いします。

以下、問題。

C(n)、C(m)をそれぞれｎ次とｍ次の複素ベクトル全体の集合とする。
Aをｍ×ｎ複素行列とする。AはC(n)からC(m)への線形写像を与える。
A※でAのエルミート共役行列を表す。AはC(m)からC(n)への線形写像となる。
C(n)、C(m)にはそれぞれ標準的な内積　<,>ｎ　、　<,>ｍ　が定義されているとする。
◎を直和記号とする。
部分ベクトル空間Vに対して、V?はVの直交補空間とする。
Im A　＝｛Aｘ│ｘ∈C(n)｝、Ker A　＝｛ｘ∈C(n)│Aｘ＝０｝と定義される。

以下の事実を証明せよ。

１、<A※y,ｘ>ｎ ＝ <ｙ,Aｘ>ｍ　、　ｙ∈C(m)、ｘ∈C(n)

２、Ker A※　＝　(Im A)?

３、Im A　◎　Ker A※　＝　C(m)

４、Im A※　◎　Ker A　＝　C(n)

５、(Ker A)?　＝　Im A※　

６、Im A　＝　Im AA※

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

1.<A※y,x>n=((A※y)※)x=(y※)Ax=<y,Ax>m
2.y∈KerA※,x∈C(n),Ax∈ImA→<y,Ax>m=<A※y,x>n=0→KerA※=(ImA)?
3.
C(m)=U◎kerA※ ,U～A※(U),dim(U)=rank(A※)となる　U　がある
x∈C(n),Ax∈ImA∩kerA※→A※Ax=0→Ax=0→ImA∩kerA※={0}
→ImA◎kerA※⊂C(m)
dim(ImA)=rank(A)=rank(A※)=dim(U)
→dim(ImA◎kerA※)=dim(ImA)+dim(kerA※)=dim(U)+dim(kerA※)=m
→ImA◎kerA※=C(m)
4.
C(n)=V◎kerA,V～A(V),dim(V)=rank(A)となる　V　がある
y∈C(m),A※y∈ImA※∩kerA→AA※y=0→A※y=0→ImA※∩kerA={0}
→ImA※◎kerA⊂C(n)
dim(ImA※)=rank(A※)=rank(A)=dim(V)
→dim(ImA※◎kerA)=dim(ImA※)+dim(kerA)=dim(V)+dim(kerA)=n
→ImA※◎kerA=C(n)
5.
x∈KerA,y∈C(m),A※y∈ImA※→<A※y,x>n=<y,Ax>m=0→(KerA)?=ImA※
6.
ImAA※⊂ImA
C(n)=V◎kerA=ImA※◎kerA,V～A(V)→V=ImA※→ImA※～ImAA※→dim(ImA※)=dim(ImAA※)
dim(ImA)=rank(A)=rank(A※)=dim(ImA※)=dim(ImAA※)
→ImA=ImAA※

お礼

なるほど。すっきりしました。
ご親切にどうもありがとうございました。