行列の核についての問題です

質問

次の行列Aで表される一次変換TA：R^4→R^3に関して以下の問に答えよ。

A=｛(a 1 -2 -1); （1 1 0 -1）; (0 1 a a);｝ ※一行を()で表しています。Aは3行4列の行列です。

(1)一次変換TAによるt(2 -2 1 0)の像を求めよ
(2)一次変換TAが全射（上への写像）となるためのaの条件を求めよ
(3)R^4=｛ t(x1 x2 x3 x4) | xi∈R(1≦i≦4) } とするとき、KerTAを求めよ

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(1)t(2a-4 0 a-1)
(2)a≠2,±1

(1)と(2)は解けたのですが、(3)のKerがよくわかりません。

ax1 + x2 - 2x3 - x4 = 0 ・・・(1)
x1 + x2 - x4 = 0 ・・・(2)
x2 + ax3 +ax4 = 0　・・・(3)

これを解いて
x3 = t 置くと
x1 = 2t/(a-1)
x2 = -2t
x4 = (-a+2)t/(a-1)
より 、X = t(2/(a-1) -2 1 (-a+2)/(a-1))
これが答えで良いのでしょうか？いまいちよくわかっていません。　
どなたか解説宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

TA：R^4→R^3 で定義域の方が値域より次元が高いので, TA は a の値によらず必ず ({0} でない) 核を持ちます. これは
A = (a1 a2 a3 a4) (a1～a4 は列ベクトル), x = t(x1 x2 x3 x4) とおくと Ax = x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4
であること, また a1～a4 は R^3 に属するため (一次独立なベクトルが高々 3本しかないことから) 一次従属であることからほぼ明らかです. つまり「a=1のときは核は存在しない」ということはありえません.

で, その答を導くときには「a-1 で割る」ことが必須ですよね. この操作が許されるためには a≠1 でないと困ります. ということは「a=1 かどうかで場合分けする」必要があります.

と書いておくけど... ん～, なんかその答も間違ってる気がする.... (2)式を満たしますか?

回答No.1

Tacosan

1点だけ突っ込み:

X = t(2/(a-1) -2 1 (-a+2)/(a-1))
としてしまうと, a=1 をもって来られたときに困りませんか?

補足

あ、確かにそうですね。
a≠1のとき成り立つという文を追加しないといけませんね。
a=1のときは核は存在しないのでしょうか？自分にはそこら辺がまだ曖昧です...