有理数に同値類があるなら、どんな表現ですか？
・次の数、次の数と見つけていくと並ぶこと。
・0がある、0があるがある、0があるがあるがある、・・・のように「がある」で同じ区別の別のものが並ぶこと。
・順番があって、前、後の区別を繰り返しすると、どんどん並ぶということ。
・同じ操作の繰り返しで並ぶこと。
で、自然数が0,1,2,3・・・と並んでいることが分かりました。
見つけたから、並ぶのか、もう並んでることにしたから、見つかるのかはどっちが正しいかは
確信がありません。直感的に私は「見つけた、から、並ぶ」と思っています。
(質問：自然数が等間隔に並ぶことを証明できるでしょうか？で前に教えてもらいました。)
同じ区別でずーっとならんでいるものを、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10個の数字と、数字を置く枠を決めて、右端を1の枠(位)その左を10の枠(位)とすると、簡単にあらわせます。
ずーっと並んでいるものを順に移動することを、10個の数字と枠のルールで、枠ごとの関係に分割して、移動して簡単になっていることがわかって、
足し算、引き算、掛け算をすると、好きな数から、どの数へでも、移動できる計算があって、
移動の仕方、前へ進むや、後ろへ進むや、一気に飛ぶといった方法で、数をつかってどれだけ、進む、どれだけ飛ぶが書けることがわかって、
それで、掛け算の逆として割り算をすると、0と1の間にたくさんの数があるはずなので、
自然数の組を決めて、その組が、0と1の間へ行く決まりで、間のたくさんの数を表せます。
ということがわかりました。(math stories 計算とは何か)
そこで、0と1の間だけでなく、1と2の間や、2と3の間を考えてしまうと、0と1の中間があって、1と2の中間もあって、2と3の中間もあって、全部の自然数の間にも中間があります。
すると、0と中間の間と中間と1の間と1と中間の間と、中間と2の間と、・・・・の全部の間が同じ区別のような気がしてきました。
だから、最初に次の数を見つけるとき、どうして、中間が見つからなかったのか、後になって割り算をするとどうして見つかるのか疑問に思ってしまいました。
中間は0.5とか1.5とか名前がついていますが、名前が指し示すものがこっそり自然数だったとしたら、
有理数だときがつかずに「ああ、順番にならんでんのね」とおもって、自然数だと思ってしまうような気がします。
疑問に思ってしまうと、頭の中の数直線の0と1の間がどんどん伸びてしまって、固まらなくて困ります。
疑問を棚に上げて、先に進むと、たぶん自分がわかってないのが、自然数では単位が1で1つの同値類だったのが、有理数ではよくわからない細かいたくさんの別々の単位、たくさんの同値類？
になっていることだと思います。
自然数の数の組はたくさんあって0と1の間へ行く決まりで、0と1の間に詰め込むので、中間だけでなくて、みっしり数が詰まっていて、数の間がなくなります。だから、みっしり詰まった数たちは、自然数とは別の種類の数なんだろうな、それが、有理数なんだろうなと思います。
数たちとしてみると、自然数と違って感じますが、1個つをとりだしてしまうと、自然数との区別がつかなくなってしまいます。
まとめますと、自然数と有理数の区別はどんな表現になるのでしょうか？
たとえば、「自然数たちには間があるけれど、有理数たちには間がない」といえる気がします。
しかし、有理数たちが1種類のタイプじゃなくて、0と1の間や1と2の間にそれぞれ1個づつ同じタイプが在るとは思うと、間があるといえる気がします。
そして、0と1の間にあるみっしり詰まった有理数たちの1つづがそれぞれ別のタイプのもの
のような気がして、0と1の間がもやーっと伸びはじめます。
また、「有理数なんかない！」と強く念じると、自然数の間にも間が無いと思えます。
自然数を決めてからでないと、有理数は決まらないという前後関係、順番があるでしょうか？
あるとして、どうしてその順番があるのでしょうか？
有理数の中に含まれている0や１や2は、自然数と有理数に同時になっているとすると、自然数と有理数の区別ができない数と、区別ができる数があるのでしょうか？
自然数の数の組の0と1の間へ行く決まりをつかって作った数たちは、自然数の並びとは「別のところ」にならんでいるような、重なっているようなあいまいな感じです。
自然数から、有理数へ、割り算で行けるということと、自然数から自然数へ、足し算、引き算、掛け算で行けるの区別がうまくできずに、「別のところ」がたくさんできてしまって困る感じです。
これが、自然数だ！というのは、わかっている気がしますので、これが、自然数でない有理数だ！というものはどういう表現になるのでしょうか？
「1かたまりの数たちの中で、好きな数から引き算、足し算、掛け算、割り算で行きたい数へ行けるんだ！行けない数もあるんだ！そして別のところなんかない！」
っていうことを数学の人たちは分かってる感じがして、その境地に達したいです。
なるべくなら、無理数、虚数は使わないで回答を希望しますが、使ったほうがわかりやすそうなら、かまいません。外から見たほうがいいのかもしれません。
もしかすると、幾何学で説明しやすいかもしれません。
レンズで数直線を拡大とか、ゴムでできた定規を引っ張るとか、グラフとかかもしれません。
わかっている方には、私がどこをわかっていないか、まちがっているかがわからないかもしれません。
ご無理をもうしあげますが、多分ここが分かってないんだろうな～こういったらわかるかな～と、いいかんじに推測していただいて、回答いただくことになると思います。
数など存在しない！とか、間やタイプってなんだ！とか、見つかるってなんだ！とか定義してから聞け！とか、比だよ！！！とか、さっぱりした回答を拒否するわけではないですが、なるべく、こちらのほうに歩み寄っていただけるとありがたいです。
お礼
分かりました！ありがとうございました。