整数の問題（有理数） お願いします。

質問

次の関係をみたす有理数αを求めよ。
　　　　4/3 { 1/α - [1/α] } = α 　　　　　0<α<1

回答No.1

noname#29493 · ベストアンサー

4/3 { 1/α - [1/α] } = α 　(0<α<1)・・・・・(1)

α≠0であるから、(1)の式に両辺にαをかけて整理すると
3α^2＋4α[1/α]-4＝0
ここで[1/α]＝n(正の整数)とおくと
α＝{-2n＋(4n^2＋12)^1/2}/3もしくは{-2n-(4n^2＋12)^1/2}/3になる
しかしα>0であるからα＝{-2n＋(4n^2＋12)^1/2}/3・・・・(2)
ここでαは有理数であるから(4n^2＋12)^1/2は整数でないといけない
これが整数となるnを求める。そうすると
4n^2＋12=m^2とおいて両辺に4で割ると
(m/2)^2-n^2=3
さらにnは正の整数だからこの等式を満たすためにはa=m/2とし、aが整数でないといけない。
a^2-n^2>0だからa>nで1^2,2^2,3^2・・・・というように
aとnについて当てはめてみるとa^2-n^2=3をみたすa,nは
a=2,n=1のみ。実際a>nとしaとnの組について(2,1)以上大きく考えるとa^2-n^2はどんどん大きくなるからa=2,n=1のみ
したがってn＝1のみと考えられるから(2)に代入して
α＝2/3が答え

お礼

ありがとうございます。助かります。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。
なかなか手ごわい問題ですね。
次のように考えてみました。

α≠0であるから、両辺をαで「割って」
1/α*(1/α-[1/α])＝ 3/4

0＜α＜ 1より 1＜ 1/αである。
ここで、1/α＝ n+ d（nは自然数、0≦ d＜ 1）とおくと、上式より
(n+ d)* d＝ 3/4
n＝ (3- 4* d^2)/(4* d)

となる。

n≧ 1であることより dに対する条件を求めると、0≦ d≦ 1/2
この dにおける nの範囲を求めると、
1≦ n≦ 3/2

これを満たす nは、n＝ 1だけである。
また、このとき d＝ 1/2である。

よって、α＝ 1/(n+ d)＝ 2/3

お礼

丁寧に解答して頂きありがとうございます。

回答No.2

alice_44

1/α の整数部分を n、
小数部分を p/q (既約分数) と置きます。
n = [1/α],
p/q = (1/α)-n ということです。
これを与式に代入、整理すると、
4(nq+p)p = 3qq と変形できます。

p と q が互いに素であることから、
q と nq+p も互いに素です。
よって、両辺の素因数分解を考えれば、
p は 3 の約数、
q は 2 の約数でなければなりません。
そのような p/q で、0 ＜ p/q ＜ 1 となるものは、
p/q = 1/2 だけです。

これを先の n,p,q の式へ代入すれば、
2n+1 = 3 となって、n = 1 も解ります。

以上より、
α = 1/(1+1/2) = 2/3。

お礼

分りやすい説明ありがとうございます。