素数の問題です。

質問

a,bを異なる素数とする。
（１）a*bの正の約数は何個あるか？
　　　またそれらの和はいくらか？

（２）a^2*b^2の正の約数は何個あるか？

（３）1225(=5^2*7^2)の正の約数全体の和はいくらか？

（１）はaとbが約数となり、２個。
　　　和はa+b
（２）はa^2の約数が２個、b^2の約数が２個で、
　　　合計４個の約数を２つずつ組み合わせて６通り。
　　　４＋６＝１０個。

と考えたのですが、合ってますか？？
なんだか違うような気がして・・・。
（３）にいたっては、頑張って計算したら求められると思うのですが、
もっと簡単な方法があるような気がします。

ご回答、よろしくお願いします。

回答No.2

rtz · ベストアンサー

(1)
a、b以外に1、a*bもありますので4つ。
例えばa＝3、b＝5の15の約数は1、3、5、15ですよね。
合計はa*b＋a＋b＋1＝(a+1)(b+1)

(2)
約数は1、a、a^2、b、a*b、a^2*b、b^2、a*b^2、a^2*b^2の9個。
実を言うと、これはa^p*b^q（pもqも0、1、2のいずれか）と表すことができます。
（a^0*b^0＝1、a^1*b^0＝a、a^2*b^0＝a^2、a^0*b^1＝b、a^1*b^1＝a*b、a^2*b^1＝a^2*b、a^0*b^2＝b^2、a^1*b^2＝a*b^2、a^2*b^2＝a^2*b^2）
つまり、これら約数の合計は(a^0+a^1+a^2)(b^0+b^1+b^2)＝(1+a+a^2)(1+b+b^2)と表せます。

(3)
これを利用して1225の約数の合計は(1+5+25)(1+7+49)＝31*57＝1767となります。

お礼

丁寧にありがとうございました！！

回答No.1

kishiura

１．１とa*b自身も約数ですから4個です。
２．a^m*b^n を約数としたとき、m=0,1,2 n=0,1,2 の範囲を取れるので、３＊３＝９通りです。
３．は地道に出すしかありません。

お礼

ありがとうございます！！
（３）も解き方思い出しました！！