点(a,b)の存在する領域

質問

実数a,bが不等式
∫[-1から1] |ax+b|dx≦2
を満たしながら変わるとき、点(a,b)の存在する領域をab平面上に図示してその面積を求めよ

どう解けばよいのでしょうか？

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

No4です。

ANo4に(a,b)の存在領域の図を添付できてなかったので再度図を添付しなおしました。

回答No.4

info22_

以下のように場合分けして解くと良いでしょう。

[1]
a=0の場合
　S=∫[-1,1]|b|dx=2|b|≦2 ∴-1≦b≦1
a>0の場合　|ax+b|=0のx=-b/aで細かな場合分けをする。
-1<-b/a<1のとき -a<b<a
　S=∫[-1,-b/a](-ax-b)dx+∫[-b/a,1](ax+b)dx
=(a^2+b^2)/a≦2 ∴(a-1)^2+b^2≦1(-a<b<a)
-b/a=-1のとき b=a>0
S=∫[-1,1](ax+b)dx=2b≦2 ∴0<a=b≦1
-b/a=1のとき b=-a<0
S=∫[-1,1](-ax-b)dx=-2b≦2 ∴-1≦b=-a<0
-b/a<-1のとき a<b
　S=∫[-1,1](ax+b)dx=2b≦2 ∴b≦1
　∴0<a<b≦1
-b/a＞1のとき b<-a
　S=∫[-1,1](-ax-b)dx=-2b≦2 ∴b≧-1
　∴-1≦b<-a(a>0)
a<0の場合　|ax+b|=0のx=-b/aで細かな場合分けをする。
-1<-b/a<1のとき a<b<-a
　S=∫[-1,-b/a](ax+b)dx+∫[-b/a,1](-ax-b)dx
=-(a^2+b^2)/a≦2 ∴(a+1)^2+b^2≦1(a<b<-a)
-b/a=-1のとき b=a<0
S=∫[-1,1](-ax-b)dx=-2b≦2 ∴-1≦a=b<0
-b/a=1のとき b=-a>0
S=∫[-1,1](ax+b)dx=2b≦2 ∴0<-a=b≦1
-b/a<-1のとき b<a<0
　S=∫[-1,1](-ax-b)dx=-2b≦2 ∴b≧-1
　∴-1≦b<a<0
-b/a＞1のとき b＞-a
　S=∫[-1,1](ax+b)dx=2b≦2 ∴b≦1
　∴0<-a<b≦1

以上から(a,b)の存在領域をまとめて図示すると
添付図の水色に塗り潰した斜線領域A-B-C-H-D-E-F-G-Aの内部領域（境界線を含む）のようになる。

[2]
(a,b)の領域の図形は半径1の円C1の右半分ABCと半径1の円C2の左半分DEFと一辺の長さ2の正方形ACDFに分割できるから
(a,b)の領域の面積Sは
　S=(1/2)π*1*1*2+2*2=π+4
の計算により求められる。

お礼

できました
回答ありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

#1 の「折り返し点があるのかないのかは、f(-1)やf(1)の値を用いて判別可能」ってのは, 単に「『a+b≧0かつ0≧b-aまたはa+b≦0かつ0≦b-a』なら折り返し点がある, だからその場合とそうでない場合に分けて考えよう」って程度のことだと思うよ.

まあ, 点(a,b)の存在する領域がab平面上原点対象であることを考えればちょっとは簡単になるかもしれんけど.

お礼

出来ました
回答ありがとうございます

回答No.2

naniwacchi

#1です。

表現が悪かったようです。
「判別可能」は、「場合わけの条件になる」と言い換えてください。

＞f(1)=a+bが正か負か判別できないので
＞a+b≧0かつ0≧b-aまたはa+b≦0かつ0≦b-aとなってしまい判別不可能なのでは？
a+b≧0かつ0≧b-aのときに、面積が2以下となるさらなる条件がつくということです。
もう片方についても同様です。

お礼

回答ありがとうございます
ようやく出来ました

回答No.1

naniwacchi

図を描いてみて、じっと見つめていると。

直線：y＝ ax+b(＝ f(x)とでも一度置いて)について、
1)直線の「折り返し点」が -1≦ x≦ 1の区間にあるのかないのかで場合わけをする。
折り返し点があるのかないのかは、f(-1)やf(1)の値を用いて判別可能。

2)さらに、折り返し点が区間に含まれていないときについて、
直線が x軸の「上」なのか「下」なのかで場合わけ。

3)折り返し点が含まれているときについて、
　折り返し点の x座標を置いてから積分を計算する。
　か、単純に三角形の面積の和として計算する。

a＝ 0の場合も分けておいた方がいいかと。
こんな感じでしょうか。(^_^;)

お礼

回答ありがとうございます
今は時間がないので後で拝見させていただきます
その時補足をするかもしれませんので良ければ回答していただけると助かります

補足

＞折り返し点があるのかないのかは、f(-1)やf(1)の値を用いて判別可能。

出来ないのではないですか？
f(1)=a+bが正か負か判別できないので
a+b≧0かつ0≧b-aまたはa+b≦0かつ0≦b-aとなってしまい判別不可能なのでは？