軌跡と領域の問題

質問

xy平面上の４点O(0,0),A(2,0),B(2,2),C(0,2)を頂点とする正方形をQとする。この時、次の条件を満たすxy平面上の点Pの存在する範囲を図示せよ。点Pを通って、Qの面積４を１と３に切り分けるような直線を引くことができない。

という問題です。

僕ははじめ正方形Qの面積を１と３に分けるような線分の通過領域をWとして、QのうちW以外の領域を求めれば良いと考えました。

しかしどのように次取り掛かれば良いか・・・場合分けをするのだろうと思うんですが

ご教授よろしくお願いします。

回答No.6

noname#199771

質問者からの反応がないようですが、各回答者が
書いたヒントを元に自分でどこまでわかったか書い
たほうがいいですよ。

なぜかというと私を含めて解けた人は大勢いると
思いますが誰も模範解答を書く気はないから。
質問者の反応をみてさらなるヒントを書く人はいる
かもしれません。

ちなみに#3の中点というのはQを直角三角形と五
角形とに分割するかそれとも２つの四角形に分割
するかの分かれ目に対応しています。

計算してみると2つの四角形に分割したときは結果
に影響していなくて、分割した一方が直角三角形
のときに計算した双曲線の一部に接する直線全体
だけ考えればいいことがわかります。

分割した結果面積が1より小さいものが何かとか考
えだすとわけがわからなくなるのでぴったり1になる
ものとぴったり3になるものだけ考えるといいです。

回答No.5

shuu_01

いや、もっとも小さくなるのは対角線上の点の時だけかな

なんか違うような気がしてきた。ごめんなさい

回答No.4

shuu_01

＞　気のせいだと思います・・・
＞　Qの対角線の交点とかは絶対Qの面積を
＞　半分ずつにしか分割できないと思います

なるほど、やっと問題の意味わかりました

正方形の外側だと、面積を１と３に分割できるし、
辺に近くても １と ３に分割できるけど、
正方形の中心だと、半分ずつにしかできません

と考えると、求める領域は中心の近くにありそう
です

しかも、1/2 ≦ x ≦ 1/2、1/2 y ≦ 1/2 ですね

だって、x = 1/2 とか 3/2 だったら、それに垂直な
線で １ と ３ に分割できちゃうから

正方形は上下、左右に対称だから、

1≦ x ≦ 1/2、 1≦ y ≦ 1/2 とかの１区画だけ
で範囲を決めたら、残り ３区画は対象に描くだけ
で良さそうです

１区画のある点を考えると、そこを通り、正方形を
分割した時の最小の面積が １以下なら １ と ３ に
分割できてしまいます

そして、最少の面積は ４つに分けた １区画の角を
含む、直角二等辺三角形の時でしょう

証明はしてませんが、僕の直感がそう言ってます

とすると、その直角２等辺三角形の面積が １以下に
ならない ＝ １より大きくなってしまう 領域を
求めれば良いことになります

でも、計算 面倒臭そうなので、まだやる気しないです

回答No.3

noname#199771

ヒント：

・Qの外部の点は条件を満たさない。
　（面積1と3に分ける直線が存在してしまう）

・点(1,1)は条件を満たす。
　（常に面積が2と2に分かれてしまう）

・直線とQとの共有点の端点がQの4辺のうちの
　1辺にだけあるとして（例えばOA）、OAの中点
　より右にあるか左にあるかで場合分けする。
　（全部で2×4通り）

・双曲線y=1/(2x)の接線は・・・

回答No.2

Mathmi

実際に計算していないのでできるか分かりませんが、簡単に。

正方形を直線で切った形は台形になります。
台形の面積は[(上辺+下辺)/2*高さ]です。

線分EFで切った場合、左右の台形の面積の比が1:3となる点E(x1,2)、F(x2,0)があるとします。
面積比は
(x1+x2)/2*2:(2-x1+2-x2)/2*2=1:3
→3(x1+x2)=4-(x1+x2)
→4(x1+x2)=4
以上より、x1=1-x2となる2点を通る直線上に、点Pは存在すると思われます。

後はこれを四辺、左右に展開してやれば解けると思います。

回答No.1

shuu_01

「点Pを通って、Qの面積４を１と３に切り分けるような直線を引くことができない。」って言うのが、「条件」なの？

xy 平面上のどこに P を置いても、Ｑ を １：３ に分けられそうな気がするけど、気のせい？

補足

条件はそれです。

気のせいだと思います・・・

Qの対角線の交点とかは絶対Qの面積を半分ずつにしか分割できないと思います