三角関数がわかりません

質問

0≦a≦1とする。関数y=cos^2x+2asinx+bが最大値2,最小値-1/4をとるとき、a,bの値を求めよ。

最大値と最小値を求める問題は解けるのですが、最初にそれが与えられている問題は、どこから手をつけていいのかわかりません。
とりあえずcos^2xを1-sin^2xに直して計算してみたのですが、その先どうすればいいんですか？間違ってますかね…？
教えてください！！

回答No.2

info22 · ベストアンサー

t=sin(x) (-1≦t≦1)とおくと
y=f(t)
=1-t^2 +2a t+b
=-(t-a)^2+1+b+a^2
上に凸の放物線
対称軸t=aが 0≦t=a≦1
でtの変域内(-1≦t≦1)の右半分にあるので
t=aで最大値f(a)=1+b+a^2=2
t=-1で最小値f(-1)=b-2a=-1/4
となります。
最大値、最小値の式から、a,bを求められますね。
後はやってみてください。
分からなければ補足で質問して下さい。

お礼

ありがとうございました。
軸を考えなければならないんですね。
参考になりました!!

回答No.4

trot

ごめんなさい、計算違いをしていました。私の解法では解けませんでした。

以下、参考までに:

y(x) = cos ^2 (x) + 2 a sin (x) + b
= {1 - sin ^2 (x)} + 2 a sin (x) + b
= - sin ^2 (x) + 2 a sin (x) + (b + 1)

sin (x) = 1 のとき、すなわち x = π/2 + 2 n π のとき、
y(π/2) = - (1) ^2 + 2 a (1) + (b + 1)
= -1 + 2 a + (b + 1) …(1)

sin (x) = -1 のとき、すなわち x = -π/2 + 2 n π のとき、
y(π/2) = - (-1) ^2 + 2 a (-1) + (b + 1)
= -1 - 2 a + (b + 1) …(2)

sin (x) = 0 のとき、すなわち x = 0 + 2 n π のとき、
y(0) = - (0) ^2 + 2 a (0) + (b + 1)
= -0 + 0 + (b + 1) …(3)

問題より、a≧0。
(1), (2), (3)を見比べると、どうやら
(1)の値 > (3)の値 > (2)の値
となりそう、と踏んで問題中の最大・最小条件を適用してしまったのですが、それは間違い。ちゃんと、t = sin (x)とする必要がありました。

周期関数は最大振幅がsin(x)のように1になったり、tan(x)のように無限大になる性質、特定周期で同じ波形を繰り返す性質を利用すれば、早く解けることが多いので、そこに着眼したのですが。

お騒がせして申し訳ないです。

お礼

いえいえ。ありがとうございました！！
参考になりました(^－^)

回答No.3

trot

t = sin (x)
とする方法は、いい方法だと思いますよ。私の方法とは少々違うのですが、info22さんからいいヒントがでています。この方法はkurumさんが、回答への補足#1に書いているのと同じ方法だと思います。

私の方法では、三角関数の-1 ≦ sin (x) ≦ 1 という特性を使うと、2次方程式を解いたり軸を考える必要が無くなり、時間の節約になります。

基本はinfo22さんの方法であり、確実に解けます。私の方法はある意味「応用」と思われますので、書き込むのはkurumさんが答えを出された後にさせて下さい。

#もちろん、「出し惜しみするな～♪」と言われれば、次は回答を書きますよ ;-)

お礼

何度もありがとうございました。
ヒントをもらって丁寧に計算してみたら、なんとか解けました!!
でも、かなり時間がかかったので、応用が知りたいです(・∀・)

回答No.1

trot

初めの一手はいいと思いますよ。私の場合、まずは式をちょこっとイジってみます。すると、何か見えてくることがありますので、それを逃さずタタミ込みます。
kurumさんの場合には、sin (x)だけの式にできたじゃないですか。つまり、yが最大・最小になるxを簡単に見つけることができるようになったと思います。

-1 ≦ sin (x) ≦ 1
ですから、後は…。

宿題の可能性もあり、この記事を見なかった生徒さんの不利益になりますので、直接的な回答は避けました。せっかくkurumさんが、解決へのいい方向にいるにも理由の一つです。「分からない」と書いて頂ければ、追加のヒントを出しますよ。頑張って下さい。

補足

ありがとうございます。
計算した後、sinx=tとおいて整理してみたのですが、間違ってますか？
もう少しヒントをもらえると嬉しいです。