教えて下さい。

質問

教えて下さい。

1辺が2の正四面体OABCがある。

(1)表面積を求めよ。

(2)BCの中点をM,角OMAをαとするときのcosαを求めよ。

(3)正四面体O－ABCにおいて、△OMAを底面とすると、高さはBMとなるときの体積を求めよ。

(1)はわかりました。

(2)から全くわかりません^^;
説明も付けていただけると
嬉しいです(*^^*)
お願いします。

ちなみに答えはこれです！

(1)4√3

(2)3分の1

(3)3分の2√2

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(2)(3)別の解法です。
(2)BCの中点をM,角OMAをαとするときのcosαを求めよ。
＞△OAMでOからAMに下ろした垂線の足をNとし、ON=x、MN=yとすると、
OM=AM=√3、OA=2だから△OANと△OMNに三平方の定理を適用して、
x^2=4-(√3-y)^2、x^2=(√3)^2-y^2、これを解いてy=1/√3、
x=(2√2)/√3
cosα=MN/OM=y/OM=(1/√3)/√3=1/3・・・答
(3)正四面体O－ABCにおいて、△OMAを底面とすると、高さはBMとなるときの体積を求めよ。
＞△OMAの面積=(1/2)*AM*ON=(1/2)*AM*x=(1/2)*√3*(2√2)/√3=√2
BM=1でBMは△OMAに垂直だから、四面体B-OMAの体積は(1/3)*√2*1=√2/3
正四面体O－ABCの体積は四面体B-OMAの体積の2倍だから2√2/3・・・答え

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

yyssaa

(1)表面積を求めよ。
＞1辺が2の正三角形の面積の4倍なので
=4*(1/2)*2*√3=4√3・・・答
(2)BCの中点をM,角OMAをαとするときのcosαを求めよ。
＞OM=AM=√3、OA=2だから余弦定理により
OA^2=OM^2+AM^2-2OM*AMcosαから
cosα=(OM^2+AM^2-OA^2)/2OM*AM=(3+3-4)/2*3=1/3・・・答
(3)正四面体O－ABCにおいて、△OMAを底面とすると、高さはBMとなるときの体積を求めよ。
＞△OMAの面積=(1/2)OM*AMsinα=(1/2)OM*AM√(1-cos^2α)
=(1/2)*3*√(1-1/9)=(3/2)√(8/9)=(3/2)(2√2/3)=√2
BM=1でBMは△OMAに垂直だから、四面体B-OMAの体積が√2*1*(1/3)=√2/3
正四面体O－ABCは四面体B-OMAの体積の2倍だから2√2/3・・・答え