四面体の6つの辺の長さから体積を求める方法

質問

四面体の6つの辺の長さから体積を求める方法

中心をOとする半径8の球面上に3点A,B,Cがあり、
AB=4、BC=6、CA＝5である。

このとき、△ABCの面積は15√7/4ということはわかりました。

四面体OABCの体積は10√6のようなのですが、どう計算すればよいのでしょうか?

回答No.2

chamiken · ベストアンサー

三平方の定理のみでも解けますが、あえて別解。
正弦・余弦定理をご存じなかったらすみません。。

Oから△ABCに下ろした垂線の足をO'とする。(この時、O'は△ABCの外心)

AO'は△ABCの外接円半径なので、
正弦定理よりAO'＝BC/2sinA
余弦定理よりcosA＝(16+25-36)/40＝1/8 ゆえ sinA=3√7/8
∴ AO'＝BC/2sinA＝6/(3√7/8)＝16/√7

△OAO'について、三平方の定理より OO'＝√{8^2-(16/√7)^2}＝8√6/√7

以上より、求める体積は (15√7/4)×(8√6/√7)×(1/3) ＝ 10√6

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

ticky

いろいろ解法はあるでしょう。

ヒントとしては、

・A、B、Cは一つの一つの円周上にある。
・円の中心を求め、任意の点(仮にxとします)からの円の中心(G)までの距離を求める。
・Ox、OG、xGで、直角三角形が作られるので、高さが求められる
です。