数学の問題です。（正四面体）

質問

一辺の長さが２の正四面体ＡＢＣDにおいて、辺ＣＤの中点をＭとする。このとき、次のものを求めよ。

１）線分ＡＭの長さ
２）cos角ABMの値
３）△ABMの面積
４）四面体、ABCDの体積

図がなくて分かりずらいですが教えていただけないでしょうか。。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

１）
三平方の定理より
　AM^2+CM^2=AC^2
CM=CD/2=１、AC=2 より
　AM^2=2^2-1^2=3　∴AM=√3

２）余弦定理より
　cos∠ABM=(AB^2+BM^2-AM^2)/(2AB*BM)
AM=BM=√3、AB=2 より
　cos∠ABM=(4+3-3)/(2*2*√3)=1/√3=√3/3

３）
△ABMはAM=BM=√3,AB=2の二等辺三角形なので
ABの中点をNとすると
　AN=AB/2=1,MN=√(AM^2-AN^2)=√(3-1)=√2
AN⊥MNなので
　△ABMの面積S=AB*MN/2=√2

４）
平面ABM⊥CDより
　四面体の体積V=四角錐ABMCぼ体積＋四角錐AMMDの体積
　=△ABMの面積*CM/3＋△ABMの面積*DM/3
　=√2*(CM+DM)/3
　=2√2/3

お礼

ありがとうございます！！
とても見やすく参考になりました。
感謝します。

回答No.1

ferien

＞辺の長さが２の正四面体ＡＢＣDにおいて、辺ＣＤの中点をＭとする。このとき、次のものを求めよ。

＞１）線分ＡＭの長さ
△ＡＣＤは１辺２の正三角形だから、ＡＭはその高さで　ＡＭ＝√３

＞２）cos角ABMの値
△ＡＢＭで、ＡＢ＝２，ＢＭ＝√３（正三角形ＢＣＤの高さ）だから、余弦定理より、
cos角ABM＝（ＡＢ^2＋ＢＭ^2－ＡＭ^2）／２×ＡＢ×ＢＭ
　　　　＝｛２^2＋（√３）^2－（√３）^2｝／２×２×√３
　　　　＝１／√３
＞３）△ABMの面積
sin角ABM＝√｛１－（１／√３）^2」＝√２／√３
面積の公式より、
（１／２）×ＡＢ×ＢＭ×sin角ABM
＝（１／２）×２×√３×（√２／√３）
＝√２

＞４）四面体、ABCDの体積
Ａから△ＢＣＤに垂線をおろし、交点をＨとする。
ＨはＢＭ上にあり、△ＢＣＤの重心であるから、
ＢＨ：ＨＭ＝２：１より、
ＢＨ＝（２／３）ＢＭ＝（２／３）×√３＝２／√３
△ＡＢＨは直角三角形だから、
ＡＨ^2＝ＡＢ^2－ＢＨ^2
　　　＝２^2－（２／√３）^2
　　　＝８／３より、
ＡＨ＝２√２／√３
正三角形△ＢＣＤの面積＝（１／２）×２×√３＝√３
体積＝（１／３）×△ＢＣＤ×ＡＨ
　　＝（１／３）×√３×（２√２／√３）
　　＝２√２／３

でどうでしょうか？

お礼

ありがとうございました！
わかりやすくしていただき納得できました。
感謝します。