行列固有値問題

質問

A=
[ 5 -7 3 ]
[ 3 -5 3 ]
[ 3 -7 5 ]

について、
(1)固有値ベクトルを求めて下さい。
(2)固有空間を求めて下さい。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

＞ で、高さ m とは何ですか?
それを、A No.3 で定義して見せたのです。
＞ Ker (A-λE)^m が固有値 λ に属する高さ m の一般固有空間です。
と書いたでしょう？ その m のことです。
Ker (A-λE)^m のことを、固有値 λ に属する高さ m の一般固有空間と呼びます。
と書いたほうが解りやすかったかな。

質問の例題には
＞ (2)固有空間を求めて下さい。
とあるだけですが、一般固有空間も知りたいのですか？
定義にしたがって、計算すればよいです。

det(A-λE) = -(λ-1)(λ-2)^2
より、A の固有値は λ = 1, 2 ですが、重根は λ = 2 の 2 重根だけなので、
A の固有空間ではない一般固有空間は、固有値 λ = 2 に属する高さ m = 2 のもの
Ker (A-2E)^2 だけです。ここの話が解らなければ、(A-1E)^2 と (A-2E)^3 を実際に
計算して、k≧1 のとき (A-1E)^k = (A-1E)^1, k≧2 のとき (A-2E)^k = (A-2E)^2
であることを確認すれば、納得できるでしょう。

成分を計算してみると、
(A-2E)^2 =
[ -3　　7　　-3 ]
[ -3　　7　　-3 ]
[ -3　　7　　-3 ]
ですから、
Ker (A-2E)^2 = { (x,y,z) | -3x+7y-3z=0 } です。
前述のように、Ker M とは { v | Mv=0 } のことですからね。

補足

整理します。あっていますか?
n次正方行列Aで固有値がλ(m個の重根を含む)時、
一般固有空間は、Ker(A-λE)^m
固有空間は、Ker(A-λE)

例題では、
λ=1について
固有空間も一般固有空間も
Ker(A-E)=
{ t(1 1 1)| t∈R }
(実際には、(1 1 1)は、列ベクトルとして明記)
λ=2について固有空間は、
Ker(A-2E)=
{ t(1 0 -1)+s(0 3 7) | s，t∈R}
一般固有空間は
Ker(A-2E)^2=
{ t(1 0 1)+s(0 3 -7) | s，t∈R }

でいいですか?

もし、固有値が三重根だったら、
一般固有空間は、
Ker(A-λE)^3だけですか?
それとも、Ker(A-λE)^2も含みますか?

回答No.6

Tacosan

激しくいまさらですが, 最小公倍数的に
行列 A の固有値 λ の重複度を m としたとき
・Ker (A - λE)^k, k = 1, 2, ..., m を「高さ k の一般固有空間」
・Ker (A - λE)^m を単に「一般固有空間」
と呼べばよかったりしませんか＞#5.

回答No.5

alice_44

あれ？ ネット上で確認してみたら、どうも、
行列 A の固有値 λ の重複度が m であるとき、
Ker(A-λE)^m を「一般固有空間」と呼ぶ
のが正解みたいだなあ。
私は、Ker(A-λE)^k, k=1,2,…,m を、
それぞれ「高さ k の一般固有空間」と呼んでいた
のだけれど、世間の標準に合っていなかったようだ。
陳謝訂正。

行列による一般固有空間分解を考えて
ジョルダン標準形の話につなげるとき、
k=1,2,…,m の各 k に対する Ker(A-λE)^k を
扱う必要があるのだけれど、何と呼ぶのが正解
なんだろう？ 用語が無いと、不自由だけど。

回答No.3

alice_44

rank が解って Ker が解らんってのも奇特な話ですが…
Ker A とは、Ax=0 を満たすベクトル x の集合で、
線型写像 x→Ax の定義域の部分ベクトル空間になります。
Ker A = { x | Ax=0 }.

行列 A の固有値のひとつが λ であるとき、
Ker (A-λE) が固有値 λ に属する固有空間、
Ker (A-λE)^m が固有値 λ に属する高さ m の一般固有空間です。
固有空間は、一般固有空間のなかで高さ 1 のもののことです。

固有空間は、ベクトル空間であって、1 次元とは限りません。
固有空間が一次元の場合、固有ベクトルはひとつの固有ベクトルの
スカラー倍のものしかありませんが、2 次元以上だと、もっと
イロイロな方向のものが含まれます。
部分ベクトル空間を表示する方法としては、基底を挙げて表す方法と
成分の一次方程式で書き表す方法があります。

補足

Ker (A-λE)^m が固有値 λ に属する高さ m の一般固有空間です。
で、高さmとは何ですか?
例題の「一般固有空間」は、どうなりますか?

回答No.2

Tacosan

「固有空間」ってのは「固有ベクトルが作る空間」のこと. もちろん「一般固有空間」は「一般固有ベクトルが作る空間」.

カーネルは定義からわかりそうなものだけど....

回答No.1

info22_

丸投げしないで分かる所までの途中計算を補足に書いて下さい。

(1)次の手順でやってみて下さい。
固有値を求める。→t=1,2(重解)
各固有値に対する固有行列から階段行列を求める。↓
t=1→[[4,-7,3],[3,-6,3],[3,-7,4]]
→[[1,-1,0],[0,1,-1],[0,0,0]]
t=2→[[3,-7,3],[3,-7,3],[3,-7,3]]
→[[3,-7,3],[0,0,0],[0,0,0]]
各固有値に対する固有ベクトルx1,x2,x3を求める。↓
t=1→x-y=y-z=0→x1=(1,1,1)
t=2→3x-7y+3z=0→x2=(1,0,-1),x3=(0,3,7)
(注)固有ベクトルは一例に過ぎません。

(2)
固有空間V1={x1},V2={x2,x3}を求める。
V1={(1,1,1)},V2={(1,0,-1),(0,3,7)}
(注)固有空間V2は一例に過ぎません。

補足

固有空間の記述の仕方は、
固有ベクトルを列ベクトルの形に書く、つまり、固有値λ=1に対して、
V(1)=
[1]
[1]
[1]
でいいんですか?
固有ベクトルと固有空間の違いは、何ですか?
また、専門書に「一般固有空間」という言葉がありますが、固有空間との違いは何ですか?
また、専門書に時々みかける「Ker 」とは、何の値ですか?
専門書の記述の定義付を読んでもよくわからないので教えて下さい。
dimやrankは、理解しているつもりです。