摂動の問題について

質問

調和振動子に関して摂動項λx^3を加えると、|<m|H'|n>|^2を計算する場合、m=n+3, n+1, n-1, n-3のみ考えれば二次のエネルギー補正項が求められるようなのですが、mがこの４つに限られる理由はなんでしょうか。また、摂動項が奇関数だと一次の補正項が０になるのはなぜでしょうか。どなたか回答お願いします。

回答No.1

quadlike · ベストアンサー

＜準備＞
量子力学の教科書に載っている通り，調和振動子を生成消滅演算子 a，a†を使ってときましょう．ディラック定数（エイチバー）を h として，a と a† を
　a＝√(mω/(2h))*(x+ip/(mω))
　a†＝√(mω/(2h))*(x-ip/(mω))
と定義します．すると，非摂動ハミルトニアンをH_0として，H_0，x，pは
　H_0＝p^2/2m＋mω^2x^2/2＝hω( ((a†)a＋1/2 )
　x＝√(h/(2mω))*(a＋a†)
　p＝-i√(mhω/2)*(a-a†)
と表せます．

摂動 H’は λx^3 に上の x の式を代入したものです．具体的な形は複雑になるので示しませんが，ざっくり言うと H’は
　aaa，aa(a†)，a(a†)a，(a†)aa，a(a†)(a†)，
　(a†)a(a†)，(a†)(a†)a，(a†)(a†)(a†)
に比例する項からなります．

|n>に生成消滅演算子を作用させると，
　a|n>＝√n|n-1>
　(a†)|n>＝√(n＋1)|n+1>
となります．

これより，H’|n>は次の4項から構成されていることがわかります．
　|n-3>，|n-1>，|n+1>，|n+3>
（例えば，aaa|n>からは|n-3>，a(a†)a|n>からは|n-1>が作られます．）

重要なのは，異なるベクトル|n>，|m>（n≠m）は互いに直交し，
　<n|n>＝1
　<m|n>＝0　(m≠n)
という直交関係を満たすことです．

＜1次摂動＞
まずエネルギー1次摂動部分E1を計算しましょう．E1は
E1＝<n|H’|n>
で表されます．H’|n>は先に述べたように，|n-3>，|n-1>，|n+1>，|n+3>の項を生み出します．これに受け皿である<n|を作用させるのですが，直交関係により，すべて0になります．

この結果からほとんど察しがつくと思いますが，H’が x の奇数乗からなっている場合には，H’|n>は
　…，|n-3>，|n-1>，|n+1>，|n+3>，…
に比例する項からなり，受け皿である<n|を作用させると，直交関係によりすべて0になります．一方で，H’が x の偶数乗からなっている場合には，
　…，|n-2>，|n>，|n+2>，…
に比例する項からなり，受け皿である<n|を作用させると，直交関係により|n>に比例する項のみが≠0となります．これが摂動項が奇関数だと一次の補正項が0になる理由です．

＜2次摂動＞
2次摂動では、|<m|H'|n>|^2を計算する必要があります．何回も述べているように，H'|n>から|n-3>，|n-1>，|n+1>，|n+3>が作られます．受け皿である<m|を作用して≠0となるのは，直交関係より，<n-3|，<n-1|，<n+1|，<n+3|の項なので，
　m＝n-3，n-1，n+1，n+3
です．従って，mがこの4つの値を取る場合のみを計算すれば十分というわけです．

お礼

大変わかりやすい回答ありがとうございました。。