不確定性関係を使う問題に関して

質問

例えば調和振動子
E = p^2/2m + kx^2/2
の最低エネルギーを不確定性関係で見積もったりする問題で
不確定性関係を用いるため
x→Δx
p→Δp
と書いて解いてますが左辺がEのままでこういう風に置いてもいい理由がよくわかりません。

調和振動子に限らずこういう風にして解く問題が他にもあるんですが（例えば水素原子の最低エネルギーを不確定性関係を使って求める問題など）どういう時にxやpをΔxやΔpと置いても問題ないのでしょうか。

質問の意味が分かりにくかったらすみません。
よろしくお願いします。

回答No.1

heboiboro · ベストアンサー

まず、固有状態に対しては エネルギー固有値＝エネルギー期待値 なので、
H = p^2/2m + kx^2/2
の両辺の期待値をとって、
E = <p^2>/2m + k<x^2>/2
が成り立ちます（左辺は基底状態のエネルギー、右辺の期待値は基底状態に関する期待値）

さらに、
<x^2> = (Δx)^2 + (<x>)^2
という関係があります。
調和振動子は左右対称なので、その基底状態では<x>=0が予想されます。
よって、基底状態において <x^2> = (Δx)^2 が成り立ちます。
pについても同様です。

これを使えば、
E = (Δp)^2/2m + k(Δx)^2/2
となることが分かります。

お礼

すごく納得いきました。
返答ありがとうございました！