調和数列の項間の関係式の求め方

質問

調和数列 {h_n}を考えます。　(※調和数列：逆数 {1/(h_n)}が等差数列になる数列)

調和数列の項h_nとh_mとの関係式が、
h_n = h_m/(1+(n-m)d)となることを示したいのですが、
できずに困っております。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0%E5%88%97

h_n = h_1/(1+(n-1)d) , h_m = h_1/(1+(m-1)d) より、
h_n = h_m{1+(m-1)d)/(1+(n-1)d)}などとやってみたのですが・・・。

分かる方がいましたらよろしくお願い致します。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

>調和数列の項h_nとh_mとの関係式が、
h_n = h_m/(1+(n-m)d)となることを示したい

この式は成り立たたないと思います。
簡単な調和数列の例として　h_k=1/k を考えます。
h_1 = 1/1 　h_k=(h_1)/(1+(k-1)d) で表せば、d=1 ということです。

n=3,m=2 としますと、
h_n = h_3=1/3, h_m = h_2=1/2

ご質問の式の
左辺=1/3
右辺=(1/2)/(1+(3-2)1)=(1/2)/(1+1)=1/4

正しい関係式はご質問にあるとおり
h_n = h_m((1+(m-1)d)/(1+(n-1)d)　でよろしいのではないでしょうか。

お礼

ご回答どうもありがとうございます！

確かめてみましたらやはり成り立たないみたいです・・・。^^;
Wikipediaに間違いがあるとは思いもしませんで、
お騒がせしましてすみません。
自分で代入して確かめるべきでした・・・。

助かりました。
どうもありがとうございました。