長方形の領域境界値問題

質問

長方形の領域0<=x<=a,0<=y<=bに関する境界値問題

d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0

x=0 du/dx=0 x=a, du/dx=sin(pi*y/b)

y=0,u=0, y=b, u=0

変数分離法を用いてよい

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

問題は、
∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0,
x=0 ⇒ ∂u/∂x=0,
x=a ⇒ ∂u/∂x=sin(πy/b),
y=0 ⇒ u=0,
y=b ⇒ u=0.
ですね？

変数分離法というのは、u(x,y)=f(x)g(y) と
x, y それぞれの関数の積で書けるような u を
求める方法です。「使ってよい」というのは、
変数分離でない解については、求めなくてよいし、
その存在の有無を検討しなくてもよい…という
意味でしょうかね？

解の一意性を証明すれば、変数分離法の解だけで
よいことが保証されるが、その手間を省いてよい
という設問なら、計算だけで済みます。
そのへんの題意が、いまいち不明ですが。

u = fg を原式へ代入すると、
f''(x)g(y) + f(x)g''(y) = 0 から
f''(x)/f(x) = -g''(y)/g(y).
両辺を一度 x で微分してから、再度積分すると、
f''(x)/f(x) が定数であることが判ります。
f''(x)/f(x) = k (kは定数) と置けば、
f''(x) = k f(x), g''(y) = -k g(y).

f''(x) = k f(x) の解はよく知られていて、
f(x) = A sin((√-k)x+B) (A,Bは定数) です。
これを敢えて導くとすれば…
2 f'(x) f''(x) = 2k f(x) f'(x) の両辺を積分して、
{f'(x)}^2 = k {f(x)}^2 + E (Eは定数).
f(x) = {√(-C/k)}w, x = {√(-k)}x で置換すれば
dx/dw = 1/√(1 - w^2) と変形できて、
逆正弦関数の定義に帰着されます。

f(x) = A sin((√-k)x+B),
g(y) = C sin((√k)y+D)　を
境界条件へ代入すると、
AC(√-k)(cos B) sin((√k)y+D) = 0,
AC(√-k) cos((√-k)a+B) sin((√k)y+D) = sin(πy/b),
AC sin((√-k)x+B) (sin D) = 0,
AC sin((√-k)x+B) sin((√k)b+D) = 0.
となって、
B = π/2, D = 0,
√k = π/b, AC = 1/{(√k) sinh((√k)a)}.
すなわち、
u = {(b/π) / sinh(πa/b)} cosh(πx/b) sin(πy/b).
と解ります。

途中、√-k と √k の一方が虚数であることについては、
境界条件から k が求まるまでは、どちらが虚だか判りませんから、
複素微分方程式として解き、最後に双曲線関数を使って整理
すればよいでしょう。早期に三角関数と双曲線関数を区別しよう
とすると、係数について煩雑な場合分けが生じてしまいます。

回答No.2

ereserve67

ANo.1です．タイプミスがあったので修正します．また少し丁寧にしました．

注意：三角関数sinx,cosxと同様に双曲線関数

cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2 , sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2

を使用します．重要な性質

dcosh(x)/dx=sinh(x) , dsinh(x)/dx=cosh(x)

に注目しておいてください．

Laplace方程式

（☆）∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂ｙ^2=0

を境界条件

（★）∂u(0,y)/∂x=0 ∂u(a,y)/∂x=sin(πy/b) ；u(x,0)=u(x,b)=0

で解くと言うことと解釈します．u≡0だと★の∂u(a,y)/∂x=sin(πy/b)を満たせませんので，そうではない解を見つけます．

u(x,y)=f(x)g(y)と仮定するとf(x),g(x)も恒等的に0ではありません．☆は

f''(x)g(y)+f(x)g''(y)=0

となります．fgでわると

f''/f+g''/g=0

f''/f=-g''/g

左辺はxだけの関数，右辺はyだけの関数なので，この値はx,yによらない定数になるはずです．それをkとおくと，

(1)f''=kf
(2)g''=-kg

まず★のu(x,0)=u(x,b)=0より

f(x)g(0)=f(x)g(b)=0

f(x)は恒等的に0でないから

g(0)=g(b)=0

さて(2)g''(y)=-kg(y)の一般解はk=0のときg(y)=Ay+B,k<0のときg(y)=Ce^{√(-k)y}+De^{-√(-k)y}となり上の条件を満たすためにはいずれもg(y)≡0，u≡0となってしまいます．したがってk>0であり，

g(y)=Acos√ky+Bsin√ky

となります．g(0)=A=0(∴g(y)=Bsin√ky)とg(b)=0より

Bsin√kb=0

g(y)は恒等的に0でないから

√kb=nπ

k=n^2π^2/b^2　(n=1,2,・・)

こうして

g(y)∝sin(nπy/b)

このとき(1)は

f''(x)=(n^2π^2/b^2)f(x)

となり，

f(x)=C_ne^{nπx/b}+D_ne^{-nπx/b}

よって重ね合わせの原理より

u(x,y)=Σ_{n=1}^∞(A_ne^{nπx/b}+B_ne^{-nπx/b})sin(nπy/b)

となります．これはｙについてはFourier正弦級数展開になっています．

∂u(x,y)/∂x=Σ_{n=1}^∞(A_ne^{nπx/b}-B_ne^{-nπx/b})(nπ/b)sin(nπy/b)

において★の∂u(0,y)/∂x=0より

Σ_{n=1}^∞(A_n-B_n)(nπ/b)sin(nπy/b)=0

∴A_n=B_n

∴u(x,y)=Σ_{n=1}^∞A_n(e^{nπx/b}+e^{-nπx/b})sin(nπy/b)

=Σ_{n=1}^∞2A_ncosh(nπx/b)sin(nπy/b)

∴∂u(x,y)/∂x=Σ_{n=1}^∞2A_n(nπ/b)sinh(nπx/b)sin(nπy/b)

★の∂u(a,y)/∂x=sin(πy/b)より

Σ_{n=1}^∞2A_n(nπ/b)sinh(nπa/b)sin(nπy/b)=sin(πy/b)

2A_1(π/b)sinh(πa/b)=1

A_n=0(n≧2)

よって

u(x,y)=2A_1cosh(πx/b)sin(πy/b)

=(b/π)cosh(πx/b)sin(πy/b)/sinh(πa/b)(答)

回答No.1

ereserve67

u(x,y)=f(x)g(y)と仮定すると

（☆）∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂x^2=0

は

f''(x)g(y)+f(x)g''(y)=0

となります．fgでわると

f''/f+g''/g=0

f''/f=-g''/g

左辺はxだけの関数，右辺はyだけの関数なので，この値はx,yによらない定数になるはずです．それをkとおくと，

(1)f''=kf
(2)g''=-kg

まずu(x,0)=u(x,b)=0より

f(x)g(0)=f(x)g(b)=0

f(x)は恒等的に0でないから

g(0)=g(b)=0

さて(2)g''(y)=-kg(y)の一般解はk=0のときg(y)=Ay+B,k<0のときg(y)=Ce^{-√(-k)y}+De^{√(-k)y}となり上の条件を満たすためにはいずれもg(y)≡0となります．したがってk>0であり，

g(y)=Acos√ky+Bsin√ky

となります．g(0)=A=0とg(b)=0より

Bsin√kb=0

g(y)≡0でないから

√kb=nπ

k=n^2π^2/b^2(n=1,2,・・)

こうして

g(y)∝sin(nπy/b)

このとき(1)は

f''(x)=(n^2π^2/b^2)f(x)

となり，

f(x)=C_ne^{nπx/b}+D_ne^{-nπx/b}

よって重ね合わせの原理より

u(x,y)=Σ_{n=1}^∞(A_ne^{nπx/b}+B_ne^{-nπx/b})sin(nπy/b)

となります．

∂u(x,y)/∂x=Σ_{n=1}^∞(A_ne^{nπx/b}-B_ne^{-nπx/b})(nπ/b)sin(nπy/b)

において∂u(0,y)/∂x=0より

Σ_{n=1}^∞(A_n-B_n)(nπ/b)sin(nπy/b)=0

∴A_n=B_n

∴u(x,y)=Σ_{n=1}^∞A_n(e^{nπx/b}+e^{-nπx/b})sin(nπy/b)

∴∂u(x,y)/∂x=Σ_{n=1}^∞A_n(e^{nπx/b}-e^{-nπx/b})(nπ/b)sin(nπy/b)

∂u(a,y)/∂x=sin(πy/b)より

Σ_{n=1}^∞A_n(e^{nπa/b}-e^{-nπa/b})(nπ/b)(nπ/b)sin(nπy/b)=sin(πy/b)

左辺はフーリエ正弦級数展開になっているので，展開の一意性により

A_1(e^{πa/b}-e^{-πa/b})(π/b)=1

A_n=0(n≧2)

よって

u(x,y)=[(e^{πa/b}-e^{-πa/b})(π/b)]^{-1}(e^{πx/b}+e^{-πx/b})sin(πy/b)

=(b/π)cosh(πx/b)sin(πy/b)/sinh(πa/b)(答)

※これが☆と境界条件を満たすことは容易に確かめられます．