円周角と弧の問題

質問

画像の正五角形ABCDEでAC,BEの交点をFとすると△FABは二等辺三角形になりす。
このことを証明さなさい。
また∠BFCの大きさを求めなさい。

∠BFCは360÷5で72゜でいいのですか？

証明のやり方と答え教えて下さい!!

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

[証明]五角形ABCDEは正五角形なので
各辺の長さは等しいから　AE=BC
AE,BCは正五角形の外接円の長さの等しい弦なので
弧AE=弧BCである。
１つの円の長さの等しい弧AE、弧BCの上の円周角は等しいから
∠ABE=∠BACである。
∠ABEと∠ABF、∠BACと∠BAFはそれぞれ同一角であるから
∠ABF=∠BAF
△FABで２つの角が等しいから△FABは二等辺三角形である。
（証明終り）

>∠BFCは360÷5で72゜でいいのですか？
72°で合ってますが
その計算では減点されるでしょう？

外接円の円周は正五角形の頂点によって５等分された長さの等しい５つ弧に分割され、５つの弧に対する中心角の合計は360度になるので、それぞれの中心角は360度÷5=72度となる。円周角の定理により、5等分された弧の上の円周角は中心角の1/2の36度になる。∴∠FBA=∠ABE=36度
△FABは上の証明により、∠FAB=∠FBAの二等辺三角形であるから、∠BFC=∠FAB＋∠FBA=2∠FBA=72度
と言った計算のやり方をすればいいでしょう。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

spring135

正5角形の頂点の角度は(180°×5-360°)/5=108°は分かりますか。

∠AEB,∠BEC,∠CEDは同じ演習の上に載っている円周角なので等しい。これらの和である∠AEDは108°

したがって∠AEBか108°/3＝36°

∠FAB＝∠CAB=36°

∠FBA=∠EBA＝36°

よって∠FAB=∠FBA

よって⊿FABは2等辺三角形

∠BFC=∠FAB+∠FBA=72°

お礼

ありがとうございます