数学の証明教えて下さい！

質問

すぐに解答欲しいです。答え合わせしたいのですが解答がもらえなかったので、解答してもらったのを参考にしたいと思います。

問.正五角形ABCDEがある。ACとBEとの交点をG、ADとBEとの交点をFとする。円周角の定理を利用する。
(1)△AGF∽△BAFであることを証明せよ。
(2)∠GAF=36゜であることを証明せよ。
(3)GF=1として、AF=xとおくとき、(1)を利用して、xの値を求めよ。
(4)cos72゜の値を求めよ。
よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

151A48

円周角の定理を利用，ということなので
（１）　正５角形ＡＢＣＤＥの外接円をかくと，弧ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＥ，ＥＡは全て等しいのでその円周角をαとします。
∠ＡＢＦ＝∠ＧＡＦ＝α・・・(1)
∠ＢＡＦ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ＝２α，∠ＡＧＦ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＣ＝２α
∴∠ＢＡＦ＝∠ＡＧＦ・・・(2)
(1)，(2)より２組の角が等しいので△ＡＦＧ∽△ＢＡＦ
（２）∠ＧＡＦ＝α，∠ＡＣＤ＝２α(弧ＡＥＤの円周角），∠ＡＤＣ＝２α（弧ＡＢＣの円周角）で，△ＡＣＤの内角の和１８０°より５α＝１８０°
∴α＝３６°
（３）△ＡＦＧ∽△ＢＡＦよりＢＦ：ＡＦ＝ＡＦ：ＧＦ BG=xなので　　x+1：x＝x：1　　これより　x^2=x+1
x^2-x-1=0を解いてx=（1±√５）/2　　x>0より　x=（1+√５）/2
（４）例えば△ＡＧＦは頂角３６°，底角７２°の二等辺三角形なので，ＡからＧＦに垂線を下ろして交点をＨとすると，∠ＡＦＧ＝７２°，ＡＦ＝(1+√５）/2，ＦＨ＝１/2より
cos72°＝ＦＨ/ＡＦ＝（1/2)/(1+√5)/2=1/(1+√5)=(√５-1)/4

回答No.1

yyssaa

(1)△AGF∽△BAFであることを証明せよ。
円周角の定理より、
∠GAF=∠ABF=∠BAG=∠FAE=∠AEF
∠AGF=∠BAG+∠ABF=∠BAG+∠GAF=∠BAF
よって△AGF∽△BAFとなります。
(2)∠GAF=36゜であることを証明せよ。
△ABEで、∠GAF+∠ABF+∠BAG+∠FAE+∠AEF=5∠GAF=180゜
よって∠GAF=36゜となります。
(3)GF=1として、AF=xとおくとき、(1)を利用して、xの値を求めよ。
△AGFも△ABGも共に二等辺三角形であり、AF=AG=BG=x
BF=BG+GF=X+1
よって△AGF∽△BAFよりBF/AF=AF/GF=(x+1)/x=x/1
x+1=x^2→x^2-x-1=0→x=(1±√(1+4))/2=(1±√5)/2
x>0であるので、x=(1+√5)/2　となります。
(4)cos72゜の値を求めよ。
頂点AからGFに垂線を下ろし足をHとすると、GH=GF/2=1/2
∠AGF=∠BAG+∠ABF=2∠GAF=72゜
よってcos72゜=GH/AG=(1/2)/((1+√5)/2)=1/(1+√5)
=(1-√5)/(1+√5)(1-√5)=(√5-1)/4となります。