数学の問題なのですが、教えて下さいませんか？

質問

円に内接する正五角形ABCDEについて、次の問いに答えよ。
（正五角形の上をAとし、左廻りにBCDEとします。ACとBDを結び、その交点がFです。）

(1)△ABF相似△ACDを証明せよ。
(2)AB＝１とする。BFとACの長さを求めよ。

答だけではなく、解説を宜しくお願い致します。

回答No.1

valenciano · ベストアンサー

(1)弧BCと弧CDの長さが等しいことから、円周角の定理より角BAC（角BAF)と角CADは等しい。
また、同様に円周角の定理より、角ABD（角ABF)と角ACDは等しい。
三角形ABFと三角形ACDは、二角が等しいため相似である。
（２）（１）より、三角形ABFと三角形ACDは相似である。
また、三角形ABFと三角形DCFは合同である。
（ここは、自分で証明してみてくださいね　正五角形でABとCDの長さが等しいのでわかるかと思います）
三角形ACDの角ACDと角ADCが円周角の定理より等しくなるため、
三角形ACDは二等辺三角形である。
相似なので、三角形ABFと三角形DCFも二等辺三角形である。

よって、
相似条件より、AB：BF＝AC:CD
AB＝1として、BF＝ｘとすると、
AC＝AF+FC=AB+FC＝AB+BF＝1+ｘ
CD＝AB＝1より、
ｘ*（1+ｘ）=1
ｘ^２+ｘ-1=0
解の公式より、
ｘ＝（-1±√5）/2となります。
ただ、xは正ですので、ｘ=（-1+√5）/2
答えとしては、BF=（-1+√5）/2、AC＝BF+1=（1+√5）/2となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

m_muscle

まず、(1)では、弧に対する円周角を用いて証明をします。

1.弧ADに対する円周角で表すと、∠ABD=∠ACD　となりますね。なので、∠ABF=∠ACD

2.次に、正五角形だから、弦BCと弦CDは等しいです。よって、弧BCと弧CDも等しいです。よって、この二つの弧に対する円周角も等しいので∠ABC=∠CAD　なので、∠BAF＝∠CAD

3.上記の二つから、相似条件である「二つの角がそれぞれ等しい（二角相等）」が成り立つので△ABF∽△ACD

次の(2)は、合同、比を使います。（こちらはあまり自信ありません）

1.まず、(1)から、対応する辺の比は等しいので、△ACDにおいて、AC=ADの場合△ABFにおいてAB=AFです。
さらに、弧BCに対する円周角∠BAC=BDCと、(1)より∠ABD=∠ACD　この三つから、二角とその間の辺がそれぞれ等しいので△ABF≡△DFC　よってBF=FC

2.三角形の相似の比を利用してとくと、AC=AF+FCから　AB:AF+FC=BF:CD　、
　BF=FCなのでAC=AF+BF　これらから

AB:AF+BF＝BF:CD

3.AB=1なので、AFも１、CDも正五角形の辺なので１、よって

　１：１＋BF=BF：１
　BF+BF^2＝１
　BF^2＋BF－１＝０
　解の公式より、１±√5/2
　マイナスは不適なので
　１＋√5/2

これであってればいいですが・・・。

わかりにくくてすいません＞＜

お礼

ありがとうございました。