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ユークリッド原論３巻命題35について
- ユークリッド原論３巻命題35についての解説を教えてください。
- 「矩形」とはどのような図なのかわからないので、教えてください。
- ユークリッド原論の箇所を読んでも理解できず、図書館の書籍でもわからなかったので、教えてください。
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お示しの図において、 ＡとＤ，ＣとＢを線分で結ぶ。 △ＰＡＤと△ＰＣＢにおいて、 ∠ＡＰＤ＝∠ＣＰＢ （対頂角）。 ∠ＰＡＤ＝∠ＰＣＢ （同一弧ＢＤ上の円周角）。 よって、△ＰＡＤ∽△ＰＣＢ。 よって、ＡＰ：ＣＰ＝ＰＤ：ＰＢ。 よって、ＡＰ×ＰＢ＝ＣＰ×ＰＤ。 ”円は、その中でたがいに交わるすべての直線の線分から成る矩形が相互に等しいような本性を有する。” というのは、 お示しの図でいうと、 ＡＰ×ＰＢ＝ＣＰ×ＰＤ のことです。 直線ＡＢと直線ＣＤが交わっていて、 その交点をＰとすると、 直線ＡＢの線分とは、 ＡＰとＰＢのことをいっていて、 ＡＰ，ＰＢからなる矩形とは、 ＡＰ，ＰＢを直角にまげてできる長方形のことで、 その面積のことをいっているので、ＡＰ×ＰＢの値を意味します。 同様に、 直線ＣＤの成分とは、 ＣＰとＰＤのことをいっていて、 ＣＰ，ＰＤからなる矩形とは、 ＣＰ，ＰＤを直角にまげてできる長方形のことで、 その面積のことをいっているので、ＣＰ×ＰＤの値を意味します。 冒頭の証明にあるとおり、 ＡＰ×ＰＢ＝ＣＰ×ＰＤ となります。 原論では、実際に長方形になっていなくても、 ＡＰ×ＰＢ（線分ＡＰとＰＢの積）のことを 「ＡＰ、ＰＢによってかこまれた矩形」 といっています（定義２－１）。 こちらの図で、敢えて矩形（長方形）を図示しますと、 ＡＰ×ＰＢは矩形ＡＰＥＡ’ ＣＰ×ＰＤは矩形ＤＰＦＤ’ となります。
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- kazuutoo
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お示しいただいたURLにあるユークリッド原論の記述を見ただけでの推測を書きます。 内容としては、No.1の方の回答と同じです。 ===== 「2つの部分にかこまれた矩形」というのは、 「2つの線分(の長さ)を縦横それぞれの長さとする長方形の面積」 と考えれば良いと思います。 つまり、円に二つの弦ACとBDがあり、それがEで交わっている時に (AEの長さ) × (ECの長さ) = (BEの長さ) × (EDの長さ) というのが、命題3-35の述べていることではないでしょうか。 きっと「原論」では、「矩形」という言葉を「矩形の面積」という意味でも使うのでしょう。 同様に「線分」という言葉を「線分の長さ」の意味でも使うのだと思います。 原論をよく読んでいる人からの回答があると良いですが。
お礼
了解しました。 まことにありがとうございます。
補足
ご回答ありがとうございます！ MagicianKumaさまの回答への補足と重複して、失礼します。 その後、いろいろと勉強して、納得しようと努めたのですが、 https://dl.dropbox.com/u/70450/eucrid.jpg こういったケースの場合、それぞれの線分の積が等しくなるように ならないのですが、、、何かすごく初歩的な勘違いを自分がしているように 思うのですが、ご指摘いただけますでしょうか。
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
>「２つの部分にかこまれた矩形」 一つの線分を交点のところで、90度曲げてできる長方形の事です。 多大に交わる線分を AB と CD とします。 交点をPとします。 言いたいことは、(PAの長さ)*(PBの長さ)=(PCの長さ)*(PDの長さ) という事です。 でもって、(PAの長さ)*(PBの長さ)を長方形(辺の長さPAとPB)の面積とみなしたということです。
補足
ご回答ありがとうございました！ その後、いろいろと勉強して、納得しようと努めたのですが、 https://dl.dropbox.com/u/70450/eucrid.jpg こういったケースの場合、それぞれの線分の積が等しくなるように ならないのですが、、、何かすごく初歩的な勘違いを自分がしているように 思うのですが、ご指摘いただけますでしょうか。
お礼
詳細なご説明と、図版までありがとうございました！ まだわかりませんが、 のちほど、検証いたします。 まことにありがとうございます。