逆像 証明

質問

X,Yを集合とする。写像f:X→Yについて
fが単射ならば、部分集合⊂に対してf^(-1)(f(A)) =A を示せ

f^(-1)(f(A)) ⊂A

x∈ f^(-1)(f(A))ならばy∈f(A)が存在してy=f(x)
yはf(A)の元であるから、y=f(a) for some a∈A
従ってf(x)=f(a) fは単射だからx=a
∴x∈A

のように考えたのですが、これでよいのでしょうか。
また、逆の包含関係について教えてほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

それでよいです
[
x∈f^{-1}(f(A))ならばf(x)∈f(A)
だから
f(x)=f(a)となるa∈Aが存在する
fは単射だからx=a
∴x∈A
∴f^{-1}(f(A))⊂A
]でもよいです。

逆は「fが単射でなくとも成立します」
x∈Aならば
f(x)∈f(A)
だから
x∈f^{-1}(f(A))={x|f(x)∈f(A)}
だから
A⊂f^{-1}(f(A))