複2次方程式について教えてください

質問

xの方程式(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)-6=0・・・・(1)
について次の問いに答えよ。
(1).x^2+2x=XとおいてXの値を求めよ。
(2).方程式(1)を解け

という問題で(1)は簡単に解けたのですが
(2)を解く時に(1)の結果を利用して解くと解説に書いてあるのですが
あまり理解できません。

Xの値は-1または6なので
X=x^2+2x=-1のとき
x^2+2x+1=0
(x+1)^2=0
x=-1

となるようなのですが　なぜこのようにすると(1)の方程式が解けるのか
がよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

spring135

＞なぜこのようにすると(1)の方程式が解けるのかがよくわかりません。

元の式がx+1をネタに作ってあっただけの話です。

(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)-6=0・・・・(1)

x^2+2x=(x+1)^2-1に気づくとy=x+1として（1）は

(y^2-1)^2-5(y^2-1)-6=0

展開して

y^4-2y^2+1-5y^2+5-6=0

y^4-7y^2=0

y^2(y^2-7)=0

よって

y=0(重解)

または

y=±√7

xに戻すと

x=y-1=-1(重解)

または

x=-1±√7

回答No.2

asuncion

X^2 - 5X - 6 = 0
ただし、X = x^2 + 2x
(X + 1)(X - 6) = 0
X = -1, 6
ここまでで、Xは-1か6であることがわかりますね。
Xというのは、実はx^2 + 2xのことですから、
x^2 + 2xが-1か6であることになります。
後は、
x^2 + 2x = -1
と
x^2 + 2x = 6
を解いて、最終目的であるxの値を求めます。

回答No.1

info22_

>なぜこのようにすると(1)の方程式が解けるのか
X=x^2+2xと置くか、置かなくても「x^2+2x」を頭の中で塊として考えれば、
２次方程式の解法で解けるからです。あるいは左辺が簡単に因数分解できて解が求まるからです。

括弧をばらして４次方程式にしてしまうと、解法はあっても解くのが非常に難しくなるから、
このようなXで置き換える訳です。

なぜ解けるかについては、以下の計算の流れを追っていただければ
(★)のような因数分解をして解いていると同じことですから、
「解ける」訳です。

(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)-6=0

X=x^2+2xとおけば

X^2-5X-6=0

(X+1)(X-6)=0

X=x^2+2x とxの式に戻せば

(x^2+2x+1)(x^2+2x-6)=0
(x+1)^2 {(x+1)^2-7}=0
(x+1)^2 (x+1-√7)(x+1+√7)=0　...(★)

∴x=-1(重解),x=-1±√7)