線形独立の証明問題

質問

線形独立の証明問題

Vを実線形空間、fをVの線形変換とする。またWをf^(-1) ({0})∩W={0}をみたすようなVの部分空間とする。さらにkを自然数とし、v1,v2,…,vk∈Vとする。次の問いに答えよ。

（１）
f(v1),f(v2),…,f(vk)が線形独立ならば、v1,v2…,vkもまた線形独立であることを示せ。

(2)
v1,v2,…,vk∈Wかつv1,v2,…,vkが線形独立ならば、f(v1),f(v2),…,f(vk)もまた線形独立であることを示せ。

この問題が解けません。
特にf^(-1) ({0})∩W={0}の理解が困難です。
証明の手順を教えてください、お願いします。

回答No.2

OurSQL · ベストアンサー

>>「a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らか」というのは部分空間の定義からですよね？
その通りです。

>>「Ker fの元にもなっている」というのは、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」から導かれたのですよね？
違います。
a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 とおいたのですから、左辺を変形すると
f(a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk) = 0 となります。
これは、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk ∈ f^(-1) ({0}) を意味します。
よって、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk ∈ Ker f というわけです。
この時点では、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」という条件は一切使っていません。

>>WとKer f の共通部分は{0}なので、0ですよね？
その通りです。
a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk = 0 がいえました。
ここで、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」を使うことにより、
a1 = a2 = ・・・ = ak = 0 がいえます。

まとめてみましょう。
a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 とおくことからスタートして、
a1 = a2 = ・・・ = ak = 0 にたどり着きました。
これより、f(v1), f(v2), ・・・, f(vk) は線形独立であることが示されました。

お礼

理解できました。
ありがとうございます。
どうも、fと結びつける思考法が苦手みたいでした。

回答No.1

OurSQL

>>特にf^(-1) ({0})∩W={0}の理解が困難です。
理解も何も、書かれている通りです。
f^(-1) ({0})は、Ker f と書かれることが多く、Ker f ∩ W = {0} ということです。

(1)v1, v2, ・・・, vk が線形独立であることを証明したいときは、
a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk = 0 -----(#) とおいて、
a1 = a2 = ・・・ = ak = 0 を導く方法がよく使われます（a1, a2, ・・・ , ak は実数）。
(#)において、左辺と右辺の f による像を考えると、
a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0
f(v1), f(v2), ・・・, f(vk) が線形独立なのだから、終了ですね。

(2)今度は、
a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 とおきます。
すると、
a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らかですが、Ker f の元にもなっています。
よって、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk が具体的にどういうベクトルか分かると思います。
このことと、v1, v2, ・・・, vk が線形独立ということをセットにすれば、もう終了ですよね。

お礼

ありがとうございます。

(1)の方は、

>>(#)において、左辺と右辺の f による像を考えると、
　a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0

この思考にいきつけませんでしたが、おかげさまで理解できました。

(2)の方ですが、いくつか確認したいことがあります。

>>a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らかですが、Ker f の元にもなっています。

「a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らか」というのは部分空間の定義からですよね？
「Ker fの元にもなっている」というのは、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」から導かれたのですよね？

>>よって、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk が具体的にどういうベクトルか分かると思います。

WとKer f の共通部分は{0}なので、0ですよね？

>>このことと、v1, v2, ・・・, vk が線形独立ということをセットにすれば、もう終了ですよね。

今示したいのは、a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 のとき、 a1 = … = ak = 0 ですが、それにどう繋がるのか分かりません。
同じ、aの文字を使っているのに理由があるのでしょうが、理解できません。

すみません、いろいろ考えてみたのですが、理解力に乏しくて・・・。
よろしくお願いします。