漸化式

質問

Xn+2＋11Xn+1＋30Xn=0
X0=X1=1
のXnを教えてください

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

Xnをx_nなどと書きます．

2次方程式x^2+11x+30=0を考えます．これは和-11，積30となる2数を求めるためです．

(x+5)(x+6)=0
x=-5,-6

∴(-5)+(-6)=-11,(-5)(-6)=30

よって漸化式は次のように変形できます．

x_{n+2}-{(-5)+(-6)}x_{n+1}+(-5)(-6)x_n=0

x_{n+2}-(-6)}x_{n+1}=(-5)x_{n+1}-(-5)(-6)x_n

x_{n+2}+6x_{n+1}=-5(x_{n+1}+6x_n)

これは数列{x_{n+1}+6x_n}が公比-5の等比数列であることをしめすので

(1)x_{n+1}+6x_n=(x_1+6x_0)(-5)^n=7(-5)^n

同様にしてx_{n+2}+5x_{n+1}=-6(x_{n+1}+5x_n)となるから，

(2)x_{n+1}+5x_n=(x_1+5x_0)(-6)^n=6(-6)^n

(1)-(2)より

x_n=7(-5)^n-6(-6)^n（答）

回答No.4

mnakauye

こんばんは、

　　３項間の漸化式は、置き換えを考えて、２項間の漸化式にします。

　　その方法は、この式が、因数分解ができる　A＾２＋１１A＋３０　の　２次式のように見えますから、

　　　　A^2＋１１A+30　=　（A+5)(A+6)　＝A＾２+5A　＋６（Ａ＋５）　のように、

　　　　Xn+2+5xn+1 + 6(xn+1+5Xn) = 0 と変形して、Yn=Xn+1 +5Xn とおくと、Ｙ０＝Ｘ１＋５Ｘ０＝６　で

　　予式は　Yn+1 +6Yn=0 　となるので、　Yn+1=(-6)Yn　

　　これで　Ｙｎ　は　初項Ｙ０＝６、公比　－６の等比数列 Yn=6*(-6)^n = -(-6)^(n+1) ( n=0,1,2,.....)　・・・(1)

　　ここから、　Xn+1+5Xn= -(-6)^(n+1) 　　　・・・(1)　

　　となるけれど、この２項間漸化式はとくのが難しい。

　　それで、予式を再び

　　　　A^2＋１１A+30　=　（A+5)(A+6)　＝A＾２+６A　＋５（Ａ＋６）　とも展開できるから、こっちをつかって、

　　　　Xn+2+6xn+1 + 5(xn+1+6Xn) = 0 と変形して、Zn=Xn+1 +6Xn とおくと、Z０＝Ｘ１＋6Ｘ０＝7　で

　　予式は　Zn+1 +5Zn=0 　となるので、　Zn+1=(-5)Yn

　　　これで　Zｎ　は　初項Z０＝7、公比　－5の等比数列 Yn=7*(-5)^n (n=0,1,2,....) ・・・・・・・(2)

　　　　ここから、　Xn+1+６Xn= ７(-５)^n 　　　・・・ 　(2)

　　　それで、(2)－(1)　とすると、

　　　　　　Xn =　 ７(-５)^n + (-6)^(n+1) (n=0,1,2,....)

Ｘ０とＸ１を確かめておくと、Ｘ０＝　７＋（－６）　＝１　Ｘ１＝７＊（－５）＋（－６）＾２＝ー３５＋３６　＝１

　　この問題は、３項間漸化式の中でも、まあまあ難しいほうですかね。

　　ポイントは　２項間漸化式にもってくるということ。

回答No.3

asuncion

ああ、そうか。項数はゼロ始まりでしたね。
私の回答における累乗n-1は、nが正しいです。

回答No.1

asuncion

X(n+2) + 11X(n+1) + 30X(n) = 0 …… (1)
X(0) = X(1) = 1

t^2 + 11t + 30 = 0という特性方程式を立てる。
(t + 5)(t + 6) = 0
t = -5, -6

よって、漸化式(1)は、下記の2とおりで表わすことができる。
X(n+2) + 5X(n+2) = -6{X(n+1) + 5X(n)} …… (2)
X(n+2) + 6X(n+2) = -5{X(n+1) + 6X(n)} …… (3)

(2)より、数列{X(n+1) + 5X(n)}は、初項X(1) + 5X(0) = 6, 公比-6の等比数列である。
その一般項は、X(n+1) + 5X(n) = 6・(-6)^(n-1) …… (4)

(3)より、数列{X(n+1) + 6X(n)}は、初項X(1) + 6X(0) = 7, 公比-5の等比数列である。
その一般項は、X(n+1) + 6X(n) = 7・(-5)^(n-1) …… (5)

(5)-(4)より、
X(n) = 7・(-5)^(n-1) - 6・(-6)^(n-1)