数列の漸化式について

質問

この漸化式の解き方を教えてください。
Xｎをどうやってｎの式で表すんですか？
回答よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

参考書やネットで、「３項間の漸化式」をキーワードに探せば出てくると思いますが、やり方が解っても、何故そう考えるのか、解らない可能性もあるので、一応、考え方から。

３項間があれば、当然、「２項間の漸化式」もあり、そちらはご存じかもしれませんが、代表的な形は、
a[n+1] = p*a[n] + q (a[～]で、右下に小さく数や式が書いてるものを表すことにします)

この場合は、整理のために書いておくと、

a[n+1] + α = p(a[n] + α) となるようなαがあるといいなぁ、
だったら、数列 {b[n]} を、b[n] = a[n]+αとしたとき、
b[n+]: = p*b[n] になり、公比pの等比数列になるので、b[n]を出すのは、簡単、
そこから、a[n] = b[n]-α で、b[n]を求めればいいからなぁ、と、考えて、

実際に、そんなαがあるのか、あるとすれば、どんな値か、を調べるために、
a[n+1] + α = p(a[n] + α) を展開・整理すると、

a[n+1] = p*a[n] + (p-1)α、これと元の、a[n+1] = p*a[n] + q を比べて、
(p-1)α = q なら、ＯＫだから、α = q/(p-1)、で、これ入れて、上の手順を踏めば出来上がり
(注) p = 1 のときは、0で割ることになり、この方法が使えませんが、p = 1 のときの、a「n+1] = a[n] + q は、公差qの等差数列なので、計算はもっと簡単)

「３項間の漸化式」の場合も、計算過程は、もう少し面倒ですが、基本の考え方は同じです。
代表の形は、a[n+2] = p*a[n+1] + q*a[n]、
で、今度は、a[n+2] - α*a[n+1] = β{a[n+1] - α*a[n]} となる、α,βがあるといいなぁ、と、考えます。「２項間」のときと違って、左辺に、α*a[n+1]を移項しているので、公比はpじゃダメ、別の文字(ここではβ)を使わないといけません。

で、今度は、さっきと逆に、先に、α,βの方を求めてみます。
展開・整理をすると、a[n+2] = (α+β)a[n+1] - αβ*a[n]、
元の、a[n+2] = p*a[n+1] + q*a[n] と比べると、
p = α+β、q = -αβ なので、α+β = p, αβ = -q、
２次方程式の解と係数の関係から、α,βは、t^2 - pt - q = 0 の２つの解として、求めることができます。
質問の問題だと、t^2 - 2t - 2 = 0 の解だから、1±√3 になります。
とりあえず、α = 1-√3、β = 1+√3ということにしておきますが、面倒なので、もうしばらく、α,βで表していきます。

α,βは、２解のうち、どっちがどっちでないといけないことはないので、
a[n+2] - α*a[n+1] = β{a[n+1] - α*a[n]} が成り立てば、
a[n+2] - β*a[n+1] = α{a[n+1] - β*a[n]} も成り立ちます。

a[n+1] - α*a[n] = c[n]、a[n+1]-β*a[n] = d[n] とおいてやると、
ｃ[n+1] = β*c[n]、d[n+1] = α*d[n] で、
{c[n]} は、初項が c[1] = a[2] - α*a[1]、公比がβ、
{d[n]} は、初項が d[1] = a[2] - β*a[1]、公比がαの等比数列なので、

c[n] = a[n+1] - α*a[n] = c[1]*β^(n-1) … (1)
d[n] = a[n+1] - β*a[n] = d[1]*α^(n-1) … (2) となり、
(1)-(2) … (β-α)a[n] = c[1]*β^(n-1) - d[1]*α^(n-1)
これで、両辺を、(β-α)で割れば、a[n]の一般項の出来上がり、で、
あとは、実際の値を代入していくだけですね。
(あ、あと、a[n]をx[n]に換えとかないと)