漸化式

質問

Xｎ₊１＝２＋１/Xｎ　（ｎ≧１）

X1＝Cについて仮極限をもとめよ。また、C＝３のときとC＝ー１/３のときに収束について論ぜよ。

お答えよろしくお願いします。

回答No.2

spring135

Xn+1=2+1/Xn　　　(1)

n→∞の極限値をpとすると

p=2+1/p　　　　　　(2)

これをとくと

p=1±√2

α＝1－√2

β＝1＋√2

とするとαは(2)を満たすので

α=2+1/α　　　　　(3)

(1)－(3)より

Xn+1-α=1/Xn-1/α=-(Xn-α)/ αXn (4)

同様にβについても同じ操作をすると

Xn+1-β=-(Xn-β)/ βXn　　　　(5)

(5)／(4)より

(Xn+1-β)/( Xn+1-α)=( α/ β)(Xn-β)/ (Xn-α)= ( α/ β)^n*(X1-β)/ (X1-α)

これをXn+1についてといて整理すると

Xn+1=[X1(β^(n+1)- α^(n+1))- αβ(β^n- α^n)]/ [X1(β^n- α^n)- αβ(β^(n-1)- α^(n-1)]

n→∞とするとα→0、β→∞

Xn→β=1+√2

Q.E.D

回答No.1

alice_44

「仮極限」って、なんじゃらホイ？
言いたいことは判るけどね…

lim(n→∞) X[n] が収束すると仮定すれば、
lim(n→∞) X[n] = x と置いて、漸化式より x = 2 + 1/x.
よって、極限は x = 1 ± √2 以外にはない。

収束するか否かは未だ解っていないから、定番の如く
A[n] = X[n] - (1+√2),
B[n] = X[n] - (1-√2) と置いて、
A[ ], B[ ] の挙動について考えよう。

漸化式から X[ ] を消去すると、
A[n+1] = (1-√2)A[n] / {A[n] + (1+√2)},
B[n+1] = (1+√2)B[n] / {B[n] + (1-√2)}.
これを眺めていると
1/A[n+1] = -(1+√2) - (3+2√2)/A[n],
1/B[n+1] = -(1-√2) - (3-2√2)/B[n]
に気づいて、1/A[ ], 1/B[ ] の漸化式が
1/A[n+1] + (√2)/4 = -(3+2√2){1/A[n] + (√2)/4},
1/B[n+1] - (√2)/4 = -(3-2√2){1/B[n] - (√2)/4}
から
1/A[n] = -(√2)/4 + {1/A[1] + (√2)/4}(-3 - 2√2)^(n-1),
1/B[n] = (√2)/4 + {1/B[1] - (√2)/4}(-3 + 2√2)^(n-1)
と解ける。
A[n] = X[n] - (1 + √2),
B[n] = X[n] - (1 - √2) と置いて、

X[n] → 1 + √2 となるのは |1/A[n]| → ∞ のとき、
X[n] → 1 - √2 となるのは |1/B[n]| → ∞ のときだから、
1/A[1] + (√2)/4 ≠ 0 のとき X[n] → 1 + √2
であることが判る。

1/A[1] + (√2)/4 = 0 となるのは
A[1] = -2√2 すなわち X[1] = 1 - √2 のときだから、
X[1] = 3 のときも X[1] = -1/3 のときも
X[n] → 1 + √2.

あれ？ 最後がつまらないね。
どこかで計算間違えしたかな？