確率を調べています。

質問

ビンゴ大会をやりたいのですが、確立を調べています。
特別賞のラッキー賞というもので
真ん中のフリーを含めると最初の４つの数字でビンゴになる可能性があります。
（これで当たればラッキー４賞、５つの数字でビンゴになればラッキー５賞です。）

その当たる確率を教えてください。

ビンゴは１～７５までの数字です
Ｂ・・・１～１５
Ｉ　・・・１６～３０
Ｎ・・・３１～４５＋フリー
Ｇ・・・４６～６０
Ｏ・・・６１～７５
の並びになります。

ちなみにラッキー賞は
ラッキー４賞
ラッキー５賞
とあります。教えて下さい。

回答No.12

nag0720

アンラッキー７賞の計算する前に、アンラッキー５賞（残り５個になってもビンゴが成立しない）を計算してみます。
穴が開いている状態を０、開いていない状態を１で表せば、
２４個中１９個開いてもビンゴにならない穴の組み合わせは次の２４通りあるので、
確率は、24/75C70=1.39*10^-6=1/719141　（約72万分の1）

１００００　　１００００　　１００００　　１００００
０００１０　　０００１０　　０００１０　　００００１
０１０００　　０１０００　　００００１　　０００１０
００１００　　００００１　　０１０００　　０１０００
００００１　　００１００　　００１００　　００１００
の４通りと、それを回転または反転したもの。

アンラッキー６賞は、
24*70/75C69=8.34*10^-6=1/119857　（約12万分の1）

アンラッキー７賞は、
(24*70C2-32)/75C68=2.92*10^-5=1/34264　（約3万4千分の1）

32を引いているのはダブっている分です。もしかしたら数えミスがあるかもしれませんが、確率としては大差ないでしょう。

回答No.11

hiro822

nCrはn個のうちからr個取り出すときの組み合わせの数。
すなわち
75C4＝（74×73×72×71）/（4×3×2×1）
75C5＝（75×74×73×72×71）/（5×4×3×2×1）

ラッキー４：
３段目が横一直線で開く確率は、B→I→G→Oの順に空くと考えると、
B（1/75）×I（1/74）×G（1/73）×O（1/72）＝1/（75×74×73×72）
B→I→O→Gという順番でも良いので、その順番の組み合わせは、
1回目（4通り）×2回目（3通り）×3回目（2通り）×4回目（1通り）=4×3×2×1
これが、縦横斜め4本のパターンがあるので
4×（4×3×2×1）×（1/（75×74×73×72））

ラッキー５：
１段目が横一直線で開く確率は、B→I→N→G→Oの順に空くと考えると、
B（1/75）×I（1/74）×N（1/73）×G（1/72）×O（1/71）＝1/（75×74×73×72×71）
B→I→N→O→Gという順番でも良いので、その順番の組み合わせは、
1回目（5通り）×2回目（4通り）×3回目（3通り）×4回目（2通り）×5回目（1通り）=5×4×3×2×1
これが、1段目、2段目、4段目、5段目、B列、I列、G列、O列の8本のパターンがあるので、
8×（5×4×3×2×1）×（1/（75×74×73×72×71））

ラッキー４のなりそこない、すなわちハズレを1回選んだ際は、
３段目で考えると、×→B→I→G→Oの順では、
×（71/75）×B（1/74）×I（1/73）×G（1/72）×O（1/71）
×→B→I→O→Gという順番でも良いので、その順番の組み合わせは、
1回目（5通り）×2回目（4通り）×3回目（3通り）×4回目（2通り）×5回目（1通り）=5×4×3×2×1
これが縦横斜めの4本のパターンがあるので、
4×71×（5×4×3×2×1）×（1/（75×74×73×72×71））
ただし、×が最後に来るパターンではラッキー4となるため引く必要がある。

よって、
8×（5×4×3×2×1）×（1/（75×74×73×72×71））
＋4×71×（5×4×3×2×1）×（1/（75×74×73×72×71））
－4×（4×3×2×1）×（1/（75×74×73×72））

ラッキー６はさらに厄介で、
（8×70+4×71×70/2）/(75C6) -（（8＋4×71）/(75C5) -4/(75C4)） -4/(75C4)
ちなみに71×70/2ははずれくじの組み合わせだから（75-4）C2を意味している。

ラッキー７は
（8×70C2+4×71C3）/（75C7）-（ラッキー6の確率）-（ラッキー5の確率）-（ラッキー4の確立）

ラッキー８となると、はずれくじと思っていたやつたちが、ビンゴになる可能性が入ってくるのでこれは難解かも。

お礼

みなさん本当に有難うございます。

実はラッキー８賞まで用意していたので、びっくりしました。
ラッキー８賞まではそう滅多に出ないだろうという感覚でつくりました。

ビンゴの数字の抽選によってはＢの列に４つＧの列に４つ出たとしたとき、
どんなにビンゴカードが配布されていようともビンゴにはならない。

考えると深いなあと思いつつ、確率がいくらか分からないので本当に助かりました。

更にもう一つラッキー賞があるのですが・・・、それはアンラッキー７賞というもので、
１～７５の数字を発表していくなかで、残り７個(６８個の数字を発表しても）になっても
ビンゴが成立しなかった場合に特別賞を用意しています。

これも確率計算できるのでしょうか?

回答No.10

nag0720

＞スタートして最初の４つだけの数字で(フリー含めて）ビンゴになるのがラッキー４賞です。

であればラッキー４賞は、＃１さん、＃３さんの計算式で、
4/(75C4) = 3.29*10^-6 ≒ 1/303863　（約30万分の1）

ラッキー５賞は、１回はずれても最初の５個の数字でビンゴになっていればＯＫということなので、
＃６さんの計算式で、
(8+4*71)/(75C5)-4/(75C4) = 1.36*10^-5 ≒ 1/73382　（約7万3千分の1）

Ｃは組み合わせの数を求める記号で、
nＣk = n*(n-1)*(n-2)*・・・*(n-k+1)/(1*2*3*・・・*k)

75Ｃ4なら、
75Ｃ4 = 75*74*53*72/(1*2*3*4) = 1215450
エクセルが使えるなら、
=Combin(75,4)
という計算式で求めることができます。

お礼

ありがとうございます。

すごい確率だったんですね。

これで当たる人は本当に運がいいことがわかりました。

Ｃの意味も教えて下さりたすかりました。

自分で計算できないため、ベストアンサーは自分ではつけられません。

皆さんがベストアンサーだと思っています。

本当に有難うございました。

回答No.9

nag0720

＃７です。

＃７の質問の意味が分かりにくかったので、もう一度質問させてください。

例えば、ある人がゲームに参加していて、
始めに３つの数字が選ばれました。全部はずれて穴が１つも開きませんでした。
続けて４つの数字が選ばれました。全部当たってビンゴになりました。

この場合、このカードにはフリー以外には４つの穴しか開いていません。
これはラッキー４賞にならないんでしょうか？

補足

スタートして最初の４つだけの数字で(フリー含めて）ビンゴになるのがラッキー４賞です。
全くロスなくビンゴになることがどれだけの確率になるか知りたいです。

回答No.8

alice_44

そっか、それもラッキー５だよなあ。見落としてた。
A No.6 の言うとおり。

回答No.7

nag0720

＞真ん中のフリーを含めると最初の４つの数字でビンゴになる可能性があります。

この「最初の４つの数字」って、主催者側が選んだ最初の４つの数字のことなのかな？

ゲーム参加者が開けた最初の４つの数字という意味にも取れるけど。

もしそうなら、確率はもっと大きくなるはず。

あと、＃５さんも言っているけど、最初の５つの数字で真ん中のフリーを含めたラインが開いたらラッキー５になる？

補足

みなさん。ありがとうございます。

はじめて質問したので、使い方が分かっていませんでした。

ラッキー５賞はフリーがラインに当たっていなくても５つの数字で揃っていればＯＫ。
もちろんフリーを含めて１回はずれて最初の５個の数字でビンゴになってもＯＫです。

宜しくお願いします。

あと、Ｃの意味がよくわからないので、おおまかな何万分の１など教えて頂けると助かります。

回答No.6

hiro822

もとい

（8＋4×71）/(75C5) -4/(75C4)

回答No.5

hiro822

ラッキー５にはラッキー４のなりそこないも含めてよいのでは。
すなわち

（8＋4×71）/(75C5) -4/(74C4)

回答No.4

MagicianKuma

No3さんの答えで正しいです。式間違えました。
(16*8*3*2*1+8*4*3*2*1)/(75*74*73*72*71)=(8*5*4*3*2*1)/(75*74*73*72*71)
結局、1列の起きる確率に起こりうる列数をかければよいのね。失礼しました。

回答No.3

alice_44

B,I,N,G,O の各々に、どの番台の数が割り当てられているかは、
各数が等確率で現れるのであれば、影響を生じません。

一枚のカードに、
ラッキー４が起こり得る場所は４本、
ラッキー５が起こり得る場所は８本ありますから、
それぞれの確率は、
4/(75C4) = 4*(4*3*2*1)/(75*74*73*72) = 3.29*10^-6,
8/(75C5) = 8*(5*4*3*2*1)/(75*74*73*72*71) = 4.63*10^-7.
だいたい 30万分の1 と 200万分の1 くらいです。
ラッキー５のほうが起こりにくい事は、面白いですね。