確率の証明

質問

以前にテレビで全国高校クイズ大会なるものが放映されていました。その中に次のような問題がありました。
「一個のサイコロを続けて何回も振り、出た目の数を最初から合計していった時、合計がちょうど６になることがある確率はどれだけか？」
　偏差値で全国有数の某高校の生徒３名が相談して何千分の１というような、トンチンカンな答えをし、ちょっとがっかりしました。（余談です）
正解は　１６８０７/４６６５６　で、これは私もできました。秀才の集まる番組ですので、出場の某高校も正解でした。
　大きな数字が表れるので、視聴者に対するインパクトは大きいでしょうが、この数字をよく見ると　１６８０７/４６６５６＝（７＾５）/（６＾６）　であることに気づきました。
そこで問題を一般化して
「ｎを正整数とし、１からｎまでのいずれかの整数が表れ、かつ、どの整数も表れる確率が等しい試行を考えたとき、この試行を独立に連続して行って、表れた数を最初から合計していった時、合計がｎになることがある確率は　（ｎ＋１）＾（ｎ－１）/ｎ＾ｎ　である」
　との予想をたて　ｎ＝１～１２についてはコンピュータも使って確かめたところ、正しいことがわかりました。この命題は真であろうと思われますが、証明ができません。よろしくお願いします。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

ｋ回目で合計がｎになる確率は、kH(n-k)/n^kだから、
求める確率は、
Σ[k=1・・・n]kH(n-k)/n^k
=(1/n^n)Σ[k=1・・・n](n-1)C(k-1)*n^(n-k)*1^k
=(1/n^n)Σ[k=0・・・n-1](n-1)Ck*n^(n-1-k)*1^k
=(n+1)^(n-1)/n^n

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

数学的帰納法を使ったらどうでしょうか？

回答No.1

chie65536（@chie65535）

分子分母が「なんの数を表しているか？」（何の場合の数を表しているか？）を考えれば、式が正しい事が判ります。