組み合わせの数え上げで困っています。

質問

組み合わせの数え上げが難しいので、計算のお伺いをいたします。
ビンゴゲームで、1から75の数字を用いたカードを作成します。

通常は、B/I/N/G/Oの縦列にそれぞれ5個（ただしNは4個）の数字を出して
N以外は15C5の60倍、Nは15C4の24倍という計算が成り立つと思いますが、
海外において実際に存在するビンゴカードに以下のようなものがあります。
（1）1つのマスに数字が2個入っている。
（2）マスを構成する2個の数字、どちらが選ばれてもそのマスは塗られたものとする。

なので、48個の数字が印刷されたビンゴカードがありますが、2個のワンセットが逆になっても良いが、配列上は別となるため、実質的な組み合わせの計算が難しくなってしまいました（完全バラなら15C10の720倍＆15C8の336倍をベースに求められる）。

どのように計算して、トータル何通りあるのでしょうか。
ご教示いただければと存じますので、よろしくお願いいたします。

（当然の前提ですが、B列は1から15、I列は16から30、N列は31から45、G列は46から60、O列は61から75の数字が使われます）

回答No.2

f272 · ベストアンサー

> 通常は、B/I/N/G/Oの縦列にそれぞれ5個（ただしNは4個）の数字を出して
> N以外は15C5の60倍、Nは15C4の24倍という計算が成り立つと思いますが、

どうして？N以外は15P5=360,360，Nは15P4=32,760だろう。
参考　https://en.wikipedia.org/wiki/Bingo_(U.S.)

2個のワンセットの方は，同じように考えて
N以外は15C2*13C2*11C2*9C2*7C2=340,540,200=15P10/2^5で
Nは15C2*13C2*11C2*9C2=16,216,200=15P8/2^4
だろう。
したがって掛け合わせると合計で
218,083,414,910,089,833,413,626,078,681,920,000,000,000
です。

もし，上下が反転しているものも実質的同じと考えるなら，上記を2で割っておけばよい。

お礼

明快な回答をいただき、ありがとうございました。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞（1）1つのマスに数字が2個入っている。

「B、I、G、Oは10個のマス、Nは8個のマスがある」と考えたら良いのでは？

＞（2）マスを構成する2個の数字、どちらが選ばれてもそのマスは塗られたものとする。

これは「Bの列はマスが１０個あって、その１０個のマスは、１と６番目、２と７番目、３と８番目、４と９番目、５と１０番目がペアになっている。他の列も同様」と考えれば良いのでは？

で「２個づつのマスがペアになっている」と言う事実は「組み合わせの計算には一切関係が無い」ので、結局は「B、I、G、Oは10個のマス、Nは8個のマスがあり、マスの個数は全部で48個」と変わらないのでは？

補足

いいえ、ゲーム上は[1,2][3,4][5,6][7,8][9,10]と[2,1][3,4][5,6][7,8][9,10]は同一のカードと見なせてしまいますので（どちらか片方が入ればそのマスは埋まったものと見なされるため）、総数48で計算すると上記のような「実質的に同一のカード」を重複して数え上げてしまいます。
これを排除した実質的な組み合わせ数を知りたいというのが本問です。