確率苦手です(><)ビンゴゲームの確率

質問

ビンゴゲームを考える。一枚のカードには5×5の計25個のマス目があり、最初から開いている真ん中のマス目を抜いた24箇所に1から90の数字が重複することなく割り当てられている。司会者が1から90までの数字をひとつずつ無作為に選んで読み上げていくときに、もっとも遅くビンゴが完成する（縦、横、斜めのいずれか一列の数字がすべて読み上げられる）のは、いくつ目の数字が読み上げられたときか。また、このような事象が起きる確率を求めよ。ただし階乗記号を用いて答えてよい。

という問題です。。。

とりあえず、最も遅くビンゴが完成するのは、85コ目の数字が読み上げられたときではないかと考えています。実際にビンゴのカードの絵を描いて、色々試してみました。

しかしながら、問題である、このような事象が起こる確率の求め方が分かりません。

本当に確率は苦手です。。。

回答No.6

noname#47975 · ベストアンサー

やはり、心配でしょうね．．。私も自信が持てなかったんでプログラミングを
して確認作業をしたのですよ．．；
一応以下がプログラミングによって導出された２４パターンとなります。
ぜひ、参考にしてみて検討してみてください。

その前に、なぜそのような考え方なのかについて少し触れておいた方がよさそうですね．．。
やはりモヤモヤ感も残ると思われますし．．。
でも、うまく伝わるように説明するのは難しい．．。

まあ、とりあえずですが、

(1)(2)(3)(4)(5)
－－－－－
Ａ＊＊＊Ｂ
＊Ｃ＊Ｄ＊
＊＊＊＊＊
＊Ｅ＊Ｆ＊
Ｇ＊＊＊Ｈ

ＡＣＦＨのうち最低１箇所は□がないと左上から右下までの数字は全て埋まってしまい
ます。
また、ＢＤＥＧの場合も同様に今度は、右上から左下までの数字は全て埋まってしまいます。
ここで、真ん中の変わりに上から３番目にくる□を(3)以外のどの位置に来るかを考えます。
例えば、(1)の列にあるとするならば、

(1)(2)(3)(4)(5)
－－－－－
Ａ＊＊＊Ｂ
＊Ｃ＊Ｄ＊
□＊＊＊＊
＊Ｅ＊Ｆ＊
Ｇ＊＊＊Ｈ

次に斜めの数字が埋まる事を阻止するためには、(2)(4)(5)のアルファベットの箇所に
適切に□を配置する必要があります。しかし、(2)(4)の場合、ＣとＤ、ＥとＦには同時に
おけません。なぜなら、同時におけるとすると、どの列も横から見てただ１つの□を
並べるというルールに反するからです。よって、(5)のＢかＨに□をおかない限りは、
(2)と(4)だけでは斜めビンゴを阻止する事が出来ないわけです。
なので、(5)のＢかＨのどちらかに配置しなければならないというわけです。
ここで、Ｂに□を配置したとすると、

(1)(2)(3)(4)(5)
－－－－－
Ａ＊＊＊□
＊Ｃ＊Ｄ＊
□＊＊＊＊
＊Ｅ＊Ｆ＊
Ｇ＊＊＊Ｈ

となります。すると、これで、右上から左下までの数字が埋まる事はなくなりました。
今度は右下から左下の数字が埋まる事を阻止しなければなりません。
すると、ＥもしくはＦに少なくとも１つは配置しなければなりません。
よって、

i) ＥとＦに同時に配置する場合
ii) Ｅにのみ配置する場合
iii) Ｆにのみ配置する場合

後はi) ii) iii)とも□を埋めれば、残りの列には自動的に□の配置が一意に決定できます。
よって３通りになります。

後は、今度は、Ｈに□を配置する場合においても、これは図をよく眺めると対称となっているので、
同様に考えれば３通りです。よって、(1)に上から３番目にくる□を配置した場合は３＋３＝６通りです。

そして、上から３番目にくる□が(5)にくる場合も対称になりますよね。
後は、(2)に置いた場合は#3で説明した通りであり、(4)の場合もその対象性を利用すれば
良いだけの事です。異常により、６×４通りになります。

いかがでしょうか、理解できましたでしょうか？一応、プログラミングによる検証結果を以下に載せておきますので、
どうぞ参考にして下さい。

◆プログラミングによる２４パターンの導出結果

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お礼

プログラミングによる２４パターンの導出結果、ちょうど自分が求めた
パターンと同じになりました(^0^)/
確かに、その考え方だと、24パターンになりますね☆
すごい分かりやすかったです！！
ありがとうございます。
m(_ _)m
最初の、上から３番目に置くの１列目、２列目、４列目、５列目の４通り。
例えば、上から３番目の１列目に置いたとする。
次に置くのが、角のBかH２通り。（斜めをふさぐため）
次がCとF両方に置くか、どちらかに置くかの３通り。（斜めをふさぐため）
あとは自動的に決まるので、式に表すと、
4×3×2×1=24通り。
これは確かに人に説明するのは、なかなか難しいですね。
自分ではおかげさまでかなり理解できたと思いますが、その理解できた
というのが分かりにくい文章ですみませんm(_ _)m

回答No.5

noname#47975

#3,4です。

何度も申し訳ありません。
勘違いしておりました。
ビンゴゲームとはあがりのルールが少しばかり違っていたのですね。
真ん中の場合は、最初から埋まっているものと考えるべきだったのです
ね。すみません。
最も遅くあがるのは８６回目でよく、パターン数以外はやはり５つの数字を残せば良いので、#3の計算式で良い事になります。

そしてパターン数の考え方ですが、
真ん中はすでに埋まっているものとして考えると、
#3で紹介した（ＩＩ：ど真ん中に□がこない場合）
を考えればよいので２４通りになります。
結局は、質問者さんのおっしゃるとおり、24×(85!5!)/90!
で良い事になりますね．．。本当に申し訳御座いませんでしたm(__)m

もうすこし問題文をきちんと読まないといけませんね．．；
大変反省しております．．。

お礼

再度コメントありがとうございます！！
#3で教えていただいた、真ん中に□がこない場合を、
実際に24パターン書いてみました！！
なるほどなりました♪
24パターンできました。。。
このやり方、実際のところ完璧に理解できたわけではないので、もしかしたら
もっとパターンがあるんじゃないかとか少し思ってしまいますが、
大丈夫ですよね？？
多分もっとよく考えたら、この方法でパターン洩れは絶対にないと
確信できるのでしょうが、頭がそろそろ追いつかなくなってきて(^^;)

疑り深い性格ですみませんm(_ _)m
プログラミングで実証されているものらしいですし、これで全部ですよね☆★

この方法、すごい画期的だと思います！！
この問題で、このパターンが何通りか考えるのが一番難しいところだと
思います。
１人では絶対にムリでした。
このやり方でパターン漏れがないという確証を得るためのプログラミングとかできないんで(^^;)
本当にありがとうございましたm(_ _)m
助かりました！！

実際色々ある問題の中で、かなり難しい方の問題でした(^^;)
あと、確率の求め方もタメになりました。。。
言われてみるとなるほどって思うんですけど、なかなか自分の
頭では思いつかなくて・・・

回答No.4

noname#47975

#3です。好意的なお礼を頂き誠にありがとうございます。

＞あと、補足なのですが、問題文では真ん中はあいているものとしているので、Ｉの、ど真ん中に□がくる場合はないものと考え、確率式は、
24×(85!5!)/90!
でいいですか？？

あっ？　それはうかつでした．．。誠にすいません。
真ん中は既にあいているものとするという条件をうっかりと見落として
おりました。
これは、やはり出題者側が難易度を少々ばかり下げるために
意図的にそういった設定にしたのでしょうかｗ
真ん中が開いている場合はビンゴのパターンを考える場合はまだ簡単な
方ですからね．．。
#3でご覧のとおり、真ん中が開いていない場合も含めると、
かなり苦労します．．。
全く関係のない長話になって申しわけありません。

さて本題ですが、空いている場合、パターンは２４パターンで良いのですが、今度は、真ん中の空いているところを含め５つの空欄になっているわけですから、その他の４つの空欄を最後まで残す事を考える必要があります。
また、気をつけなければならないのが、今度は４つの数字を残せばよいので、最も遅く上がるのは８６回目ではなく、８７回目です。
８７回目には、残りのどの数字が読まれようが必ず上がります。
要するに８６回目まで、各パターンにおいて対応する４つの数字を残せば
のです。
なので、計算式は、

２４×(８６／９０）×（８５／８９）×…×（１／５）
＝２４×（８６！４！／９０！）
となるはずです。

でも、かくいう自分もあまり自信がありません．．。
やはり若干意図的に難易度を落としているとはいえ、難しいことには
変わりないですね．．。

回答No.3

noname#47975

８５回目に数字が読み上げられるまで、ビンゴにならずに残る確率さえ求めれば良い事になります。

そして、８５回目までビンゴにならずに残る場合のパターンは結論から申し上げると４８通りになります。（プログラミングにて実証済み）以下はその一例になります。

□ ■ ■ ■ ■
■ □ ■ ■ ■
■ ■ □ ■ ■
■ ■ ■ □ ■
■ ■ ■ ■ □

■　数字がすでに的中した箇所
□　数字がまだ的中した箇所

なぜ４８パターンになるのかは後ほど説明します。

まず、各パターンにおいて、□の部分は的中しないようにすれば良い
ので、８５回数字を読み上げるまで、その部分の数字全てが読み上げられ
ない確率を求めれば良い事になりますね。

そうすると、計算式は

(１回目に５つの数字以外を読み上げられる確率)×(２回目に５つの数字以外を読み上げられる確率）×......×（８５回目に５つの数字以外を読み上げられる確率）となるので、

(85/90)×(84/89)..... × 1/6 = (85!5!/90!) となります。

後は、これが４８パターンにおいて言えるわけであり、互いに排反事象
である事から、48×(85!5!)/90!となります。

実際に電卓で計算させて見たところ、およそ１００万分の１でした。
以上は高校数学レベルの考え方になります。

問題は、４８パターンを求め方ですが、これは考えようによっては小中学生でも出来るかもしれません。パズルを解くのが得意な人ならば比較的簡単に出来るかもしれません。また、ご自身でもパズル感覚で考えていってもらいたいとも思います。

ここで、４８パターンの特徴なのですが、

「縦から見ても横から見ても、各列には□が必ず１つ存在する。」
であり、ここからは上記の規則を満たすような配置問題として
考えれば良いです。

つまり、縦方向に左から順番に見ていくと、
各列のどの□も横から見て２つ以上になってはいけない。

この場合、まず２通りのケースに分けて考えます。

Ｉ：ど真ん中に□が来る場合

＊＊＊＊＊
＊＊＊＊＊
＊＊□＊＊
＊＊＊＊＊
＊＊＊＊＊

＊は□もしくは■が未確定

この場合は１列目は上から３番目以外はどこに配置しても良いので
４通りになり、２列目は３通り、４列目は２通り、５列目は１通り
になるので、４！＝２４通りになります。

ＩＩ：ど真ん中に□がこない場合

Ａ＊＊＊Ｂ
＊Ｃ＊Ｄ＊
＊＊＊＊＊
＊Ｅ＊Ｆ＊
Ｇ＊＊＊Ｈ

まず、上から三番目に来る□をどこに置くかを考えます。
例えば１列目においた場合は、
ＢもしくはＨに□を配置しなければなりません。
もし、Ｂに置いた場合は、今度はＣかＦのうち少なくとも１箇所に□を
配置しなければなりません。そうしなければ、斜めの数字が全て埋まって
しまいビンゴになってしまいます。ここで、これまでの過程を図で整理すると以下のような状態です。

Ａ＊＊＊□
＊Ｃ＊Ｄ＊
＊＊＊＊＊
□Ｅ＊Ｆ＊
Ｂ＊＊＊Ｈ

ここで、ＣとＦともにどちらにも□をおく場合と、
そうでない場合とにわけて考えます。

ＣとＦともに□をおく場合、

Ａ＊＊＊□
＊□＊Ｄ＊
□＊＊＊＊
＊Ｅ＊□＊
Ｂ＊＊＊Ｈ

後は３列目には、上から５番目にしかおけません。

Ｃにのみ置く場合

Ａ＊＊＊□
＊□＊Ｄ＊
□＊＊＊＊
＊Ｅ＊Ｆ＊
Ｂ＊＊＊Ｈ

Ｆに置くと上記のケースになってしまうので、
４列目には上から５番目にしかおけず、３列目には残りの４番目に
しか置けません。

Ｄにのみ置く場合もＣの時と同様です。

以上を整理すると、

(1)：上から３番目に□を１列目におく（後は２列目、４列目、５列目に置く場合もある）
(2)：Ｂに□をおく（後はＨに□を置く場合もある）
(3)：ＣとＦに少なくとも１つの□を置かなければならず、
ＣとＦに置く場合、Ｃのみに置く場合、Ｆに置く場合と
合計３ケースが存在し、残りの列の配置は一意にきまる。

要するに(1)(2)の条件のもとでは３通りの配置パターンが存在する
わけです。
後は対称性を利用するなどして上記のような手順で考えていけば
２４通り存在する事が分かります。

Ｉ、ＩＩのケースともともに２４通りずつ存在するわけですから、
全部で４８通り存在する事がいえます。

最後の方は大雑把な説明になりましたが、参考程度に留め、機会があればぜひご自身で考えてみてください。図を書いて考えればスグにわかるかと思います。

最も理解していただきたいのは、前半部分の確率式の求め方と考え方ですね．．。

お礼

長い文章ありがとうございました！！
おかげでだいぶ理解できました！！
確率式においては、大丈夫そうです。
ただ、８５回目までビンゴにならずに残る場合のパターンについては、
まだいまいち理解しきれていないので、じっくり考えてみます(^^;)
本当に確率とか順列とか組み合わせとかパターンは苦手です(><)
あと、補足なのですが、問題文では真ん中はあいているものとしているので、
Ｉの、ど真ん中に□がくる場合はないものと考え、確率式は、
24×(85!5!)/90!
でいいですか？？

この問題は、どのように解いていくかが、どのように考えるかが
とても難しかったです。
本当にありがとうございました！
助かりましたm(_ _)m

回答No.2

k_maisan

86個目の数字が呼びばれるまで揃わないケースが一番遅いというのは既にNo.１さんのとおりです。

数字が５個しかのこっていないのに揃わないケースを調べますと、この取り方が８パターンあります。
これは、5x5の盤のクイーン問題で、中央の位置に駒を置かない場合の解の数と同じです。

●○○○○　●○○○○　○○○○●　○○○○●
○○○●○　○○●○○　○●○○○　○○●○○
○●◎○○　○○◎○●　○○◎●○　●○◎○○
○○○○●　○●○○○　●○○○○　○○○●○
○○●○○　○○○●○　○○●○○　○●○○○

○○●○○　○●○○○　○○●○○　○○○●○
●○○○○　○○○●○　○○○○●　○●○○○
○○◎●○　●○◎○○　○●◎○○　○○◎○●
○●○○○　○○●○○　○○○●○　○○●○○
○○○○●　○○○○●　●○○○○　●○○○○

　まずは、あるひとつのパターンが発生する確率を求めましょう。

　５個を任意に残すことは、つまり、特定の5個を90個の中から選ぶことですので、
その確率を計算しますと、
　(5!*85!)/90! = (5*4*3*2*1)/(90*89*88*87*86)=1/43949268

　求める確率は、これの８倍ですので、
　8/43949268
　2/10987317 = 約 0.000000182028

　となります。

　答えがあっているかどうかはちょっと自信がありません。

お礼

図を使った説明ありがとうございました！
確率の計算の仕方、ためになりました(^^)
あとは、パターンについてですよね(^^;)
パターンについては考えるのがどうしても苦手なので、今からじっくり
考えてみます。
クイーン問題という言葉、初めて聞きました。。。
数学を本気で勉強していると、しらなかった法則などを沢山発見し、
知ることができるので楽しいです。

本当にありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

sa-roin

多分86個目でビンゴになるのが最遅の時だと思います。
85個目はまだ5つ数字が残ってるので将棋で言う必至の状態です。
確率は

4!×20
------------
90P24×90P85

というへんてこな答えしか出てきませんでした。
スミマセン。
これは、

最初のカードの場合が
90から24並べる 　　　 90P24　

次に読み上げられる数字の場合が
90×89×・・・なので　90P85

これを掛ければ必至の状態の全事象が出てきます。（多分）

んで分子は真ん中以外の縦か横に視点を当てて　4！
どうしてももうひとつ消す必要があるので　 　 4
必至の状態から５つの穴から１つ選ぶ　　　　　1

4!×4×5から算出しました。(5！×4でもいいけど・・)
　　　　　　　　　　　　　(間違ってるの覚悟です^^;)

なにかきっかけのかけらにでもなればとてもうれしいです。
わたしは平凡な会社員ですが、確率で解けない問題はないと思っていました。いままでは・・・・
ありがとうございます。
解答が分かったらぜひ教えて下さい。
東京大学大学院ですか？さすがです・・・・・
応援しています。

お礼

あ！！本当だ！！
再度試してみたら86コ目が最遅になりました(^^;)

もう１回確率の問題考えてみます。
助けになりました。
ありがとうございましたm(_ _)m

確率でとけない問題がないと思っていたって、すごいですね(^^;)
どうも自分は確率が苦手で(><)

こちらこそ、解答がもし分かったらその時はヨロシクお願いします。
過去問８割ほどは解いたのですが、どうしても全部解きたくて...
なかなか自分の頭の悪さに悩まされてます。。。
応援ありがとうございますm(_ _)m