円形範囲の重積分について

質問

∬xy^2/(a^2-x^2)^(1/2)dxdy 範囲 x≧0, x^2+y^2=a^2

で∬f(x,y)dydxと∬f(x,y)dydxが違う値になってしまうんですが、なぜ違うのかと計算過程を指摘してもらえるとありがたいです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問について

>∬f(x,y)dxdyの値が違っていて、
>x区間が0→√(a^2-y^2)、y区間が-a→aであってますか？
合ってますよ。
積分するとき、√(y^2)=|y|の符号に注意して下さい。

a>0として
>∬f(x,y)dxdy
=∫[-a→a] y^2 dy∫[0→√(a^2-y^2)] x/√(a^2-x^2)dx
=∫[-a→a] y^2 dy[-√(a^2-x^2)][0→√(a^2-y^2)]
=∫[-a→a] y^2 (a-|y|) dy ← √(y^2)=|y|となることに注意
=∫[-a→0] (ay^2+y^3)dy+∫[0→a] (ay^2-y^3)dy　← |y|の絶対値をはずすためyの積分範囲を分ける
=[ay^3/3+y^4/4][-a→0] + [ay^3/3-y^4/4][0→a]
=a^4/3 -a^4/4 +a^4/3 -a^4/4
=a^4 /6
となります。

A#2で、両方０になると言ってるけど、間違いだね。

お礼

なるほどー丁寧にありがとうございます！
また機会があればよろしくお願いします！

回答No.4

alice_44

問題の積分範囲を、よく見てごらん。
回答に合わせて問題を改変するより、
問題に合わせて解くほうがよいと思う。

お礼

ごめんなさいよくわかんないです

回答No.2

alice_44

どっちの積分も、値は 0 だろうに。
貴方がどこで間違えたかは、
貴方の計算過程を見なければ
判りようがない。

補足

？

回答No.1

info22_

>∬f(x,y)dydxと∬f(x,y)dydx　　←　全く同じ式です。
>が違う値になってしまうんですが

dxdy と dydx と書くつもりだったのでは？

同じ値にならないのは質問者さんが計算間違いをしてるだけのことでしょう。

>範囲 x≧0, x^2+y^2=a^2
この範囲は「x≧0, x^2+y^2≦a^2」の間違いではないですか？

>なぜ違うのかと計算過程を指摘してもらえると
違ってるのは質問者さんの計算ですから、回答者としては、質問者さんがやった計算過程を補足に書いて
いただかないと、どこが間違っていたかは、チェックできません。回答者は質問者さんの間違った解答を知らないですから、どこが間違っているとか、訂正することもできません。

正しい答えは、どちらも同じ値「(1/6)a^4」となります。
どちらが違ったかわかりますか？
両方の計算過程を書いて頂けませんか？

補足

色々間違いがあってすいません

∬f(x,y)dxdyの値が違っていて、x区間が0→√(a^2-y^2)、y区間が-a→aであってますか？