重積分です

質問

∬ce^-(2x^2+2xy+y^2)dxdy＝1
のcがうまく求まりません（涙

行列を使うと、c=1/πとなるはずですが。

回答No.4

info22

#2です。
回答者さんからの質問の不備に対する補足要求に対して
なんら質問者さんの補足がないですね。

質問の問題解決したければ不備の修正と
必要があれば更に補足質問して下さい。

別解）ヒント
x=r cos(t),y=r sin(t)と置換すると
dxdy=r drdt
D={(x,y)|-∞<x<∞,-∞<y<∞}→D'={(r,t)|0≦r<∞,0≦t≦2π}
なので
∫_D　exp(-(2x^2+2xy+y^2))dxdy
=∫_D' r*exp(-(r^2)*(2cos^2(t)+2cos(t)sin(t)+sin^2(t)))drdt
=∫[0,2π]dt∫[0,∞]r*exp(-(r^2)*(1+cos^2(t)+2cos(t)sin(t)))dr
=∫[0,2π]dt∫[0,∞]r*exp(-((r^2)/2)*(3+cos(2t)+2sin(2t)))dr
=∫[0,2π]dt*(1/(3+cos(2t)+2sin(2t)))
=∫[0,2π] 1/(3+cos(2t)+2sin(2t))dt
=∫[0,2π] 1/(3+√5sin(2t+arcsin(1/√5)))dt
u=2t+arcsin(1/√5)と置換
du=2dt,t:[0,2π]→u:[arcsin(1/√5),4π+arcsin(1/√5)]
なので
=∫[arcsin(1/√5),4π+arcsin(1/√5)]　1/(3+√5sin(u))du/2
=∫[0,4π]　1/(3+√5sin(u))du/2
=∫[0,2π]　1/(3+√5sin(u))du
=...
=π

回答No.3

Tacosan

積分範囲が分からんのにど～しろと.

回答No.2

info22

積分の範囲が書いてありませんが
x,yとも[-∞～∞]ですか？

そうであれば
∫[x:-∞,∞]∫[y:-∞,∞] c e^-(2x^2+2xy+y^2)dxdy＝1
I=∫[x:-∞,∞]∫[y:-∞,∞] e^-(2x^2+2xy+y^2)dxdy＝1/c
=∫[y:-∞,∞]e^(-y^2)dy∫[x:-∞,∞] e^-(2x^2+2xy)dx
=∫[-∞,∞]e^(-y^2)dy*(√(π/2))*exp((y^2)/2)
=(√(π/2))*∫[-∞,∞] exp(-(y^2)/2)dy
=(√(π/2))*√(2π)=π
=1/c
c=1/π

個々の積分は数学ソフトMaximaを使ってやってみました。

回答No.1

jaspachate

∫[-∞～∞]e^(-ax^2)dx = √(π/a)
を使われてはいかがでしょうか。