重積分の解答

質問

∬_A〖xy^2 〗 dxdyを求めよ。ただし、A:2≤y-x,x^2+y^2≪4

これを解いて、-48/5が出ました。
これであっているでしょうか？
（一応、計算せずに「合ってます」という答えを書く方がいると困るので、最後、y=2とy=0を積分で代入するあたりからの計算も書いてください。全文あれば、もちろんそちらの方をベストアンサーにします）

回答No.2

noname#232123

I=∫[-2 to 0]{∫[(x+2) to √(4 - x^2)] x*y^2dy}dx
=∫[-2 to 0] (x/3){(4 - x^2)^(3/2) - (x+2)^3}dx
=(1/3)[(-1/5)*(4 - x^2)^(5/2) - (1/5)x^5 - (3/2)x^4 - 4x^3 - 4x^2]
=-8/5.
となりました。

回答No.1

info222_

>これを解いて、-48/5が出ました。
>これであっているでしょうか？
間違ってる。正解は「-8/5」

計算
I=∫[0,2] (y^2)dy ∫[√(4-y^2),y-2] xdx
=∫[0,2] (y^2)dy {[x^2/2] [√(4-y^2),y-2]}
=(1/2)∫[0,2] (y^2) {(y-2)^2-(4-y^2)}dy
=(1/2)∫[0,2] (y^2) (2y^2-4y)}dy
=∫[0,2] (y^4-2y^3)dy
=[y^5/5-y^4/2][0,2]
=(32/5)-8
=-8/5 ...(答)