重積分について教えてください（一部訂正）

質問

すみません。今朝質問した内容に一部ミスがありましたので訂正します。
（１）∬Dsqrt{(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)}dxdy,D={(x^2+y^2≦1} の値を
求めよ。
（２）∬D(x+y)^4dxdy,D={(x,y)｜x^2+2xy+2y^2≦1} の値を求めよ。

（３）は変更ありません。

よろしくお願いします。

回答No.2

i536 · ベストアンサー

回答を訂正前の質問にのせましたが、同じものをここに転記します。
(2)
領域x^2+2xy+2y^2≦1より、(x+y)^2+y^2≦1となるから、-1≦y≦1
x^2+2xy+(2y^2-1)=0をxについて解くと、x=-y±√(1-y^2).

∫∫(x+y)^4dxdy
=∫(y=-1～1)dy∫(x=-y-√(1-y^2)～-y+√(1-y^2))(x+y)^4dx
=∫(y=-1～1)dy[(x+y)^5/5](x=-y-√(1-y^2)～-y+√(1-y^2))
=(2/5)∫(y=-1～1)(√(1-y^2)^5dy

y=sinΘとおくと、dy=cosΘdΘより

=(2/5)∫(Θ=-π/2～π/2)(cosΘ)^5cosΘdΘ
=(4/5)∫(Θ=0～π/2)(cosΘ)^6dΘ
=(4/5)((5×3×1)/(6×4×2))(π/2)
=π/8.

お礼

返事が大変遅くなってしまい申しわけありません。最近、非常に忙しかったので・・・。とてもくわしく教えていただきありがとうございました。大いに感謝する次第です。これからもよろしくお願いします。

回答No.4

hismix

補足なんですけど、理論的に言えば
二重積分を計算するにはちゃんとフビニの定理のような定理の仮定を
チェックする必要があります。
まあチェックしてみてください。

お礼

返事が遅くなってすみませんでした。せっかく教えて頂いたのですが私はフビニの定理を知らないもので・・・。勉強しときます・・・。ありがとうございました。

回答No.3

siegmund

i536 さんの詳細回答がありますので蛇足ですが．．．

(2)は領域が
[1]　　(x+y)^2 + y^2≦1
であることに注目して，
[2]　　X = x + y，　Y = y
と変換することも可能です．
こうすれば領域は
[3]　　X^2 + Y^2≦1
で円の内部ですから
[4]　　X = r cosθ，　　Y = r sinθ
とすればよいでしょう．
最初の変数から見れば
[5]　　x = X-Y = r(cosθ - sinθ)，　y = r sinθ
と変換したことになります．
ちょっと計算すればわかりますようにヤコビアンは J = r になりますから，
x+y = X = r cosθ に注意して，求める積分は
[6]　　∫{θ=0～2π}∫{r=0～1} r^4 cos^4(θ) r dr dθ = π/8
になります．

お礼

大変遅くなってしまいすいません。siegmundさんの言う通りにやってみたら簡単にできました。ありがとうございました。

回答No.1

i536

(1)は、x=rcosΘ,y=rsinΘと座標変換します。

∬Dsqrt{(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)}dxdy

=∫(Θ=0～2π)dΘ∫(Θ=0～1)r*sqrt((1-r^2)/(1+r^2))dr <---ｒは座標変換による|J|=r.

=2π∫(Θ=0～1)r*sqrt((1-r^2)/(1+r^2))dr

=2π*(1/2)∫(t=0～1)sqrt((1-t)/(1+t))dt <--- t=r^2 と置くと、dt = 2rdrから

=π∫(t=0～1)(1-t)/sqrt(1-t^2)dt <--- 分母分子にsqrt(1-t)を掛けます！

=π[arcsin(t) + sqrt(1-t^2)](t=0～1)

=π(π/2 - 1).