極座標の重積分の範囲について

質問

∬√x dxdyを　D:y>=0,x^2+y^2<=2x の範囲で解け、という問題があります。
範囲Dについては、(x-1)^2+y^2<=1と変形されることはすぐにわかったのですが、果たしてこの範囲は、通常の中心が原点の円と考えて積分可能なのでしょうか？
極座標に変換しても、0<=θ<=πまでで、rをどのように範囲をとったらよいのかよくわかりません。
さらに、この問題は極座標に変換しても√rcos(θ)が積分の中に出てきます。いくらがんばっても√cos(θ)の積分が求まりませんでした。
はたしてどのようにとけばよいのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.7

info22 · ベストアンサー

皆さんの色々なアイデアをまとめさせていただき、できるだけ簡単に積分を行うことすると以下のようにすればいいかと思います。質問者さんにも分かりやすく高度なテクニックも使わなくて良いかと思います。

∬[D]√x dxdy＝∫[x:0→1]√x dx∫[y:0→√{1-(1-x)^2}]dy
＝∫[x:0→2]√x√{1-(1-x)^2}dx
（x-1=X, x=X+1と変数変換）
＝∫[X:-1→1]√(1+X)√(1-X^2)dX
＝∫[X:-1→1](1+X)√(1-X)dX
(t=√(1-X), X=1-t^2　と変数変換)
＝∫[t:√2→0](2-t^2)t(-2t)dt
＝2∫[t:√2→0](t^4 -2t^2)tdt
＝2[t^5)/5 -(2/3)t^3][t:√2→0]
＝(16√2)/15

質問者さんも今一度計算の流れを追ってみてください。
#6さんの先にｙの積分をするというアイディアはいいですね。

回答No.8

siegmund

siegmund です．

まったく grothendieck さんが No.6 で書かれているとおりです．
被積分関数が y に依らないのですから，
先に y で積分するのは当然考えるべきところでした．
質問文で極座標変換があったのと，積分領域が円内だということで，
極座標ばかりに頭に行っていました．
年のせいで，頭が固くなったか？

info22 さん，適切なまとめをありがとうございました．

回答No.6

grothendieck

yについて先に計算するのが最も簡単と思われます。xを固定した時、D内のyの範囲は0 から√(2x-x^2) までだから
　∫ [0～√(2x-x^2)] dy = √(2x-x^2)
よってxについて
　∫ [0～2] √x・√(2x-x^2) dx = ∫ [0～2] x√(2 - x) dx
という積分になります。これは部分積分で容易に計算され(16√2)/15　となります。

回答No.5

siegmund

siegmund です．
ちょっと遅くなりました．

まず，ミスプリ訂正から．
(2)および，(5)の左辺の 2π を削除してください．
文章書くときにうっかり2πなんてつけてしまった(^^;)
(5)の右辺は大丈夫です．

> (6)の前で、a^2をcos(θ)に戻すと、cos^2(θ)が出てきますよね。
> 分母に三角関数がついた積分はどのようにやるのかわからなくなってしまいま
した…。

1/cos^2(θ) の積分ということですね．
(d/dθ) tan(θ) = 1/cos^2(θ) は well-known ではないかと...

それから，φに直したあとで出てくる積分は

(a) cos(φ) ・・・ 簡単

(b) cos(φ)/cos(2φ) = cos(φ)/{1-2sin^2(φ)}
(c) cos(φ)/cos^2(2φ) = cos(φ)/{1-2sin^2(φ)}^2
は sin(φ)=t とでもおけば，ちょうど分子に dt = cos(φ) dφ の cos(φ) が
出ています．

info22 さん：
> Mathematicaで確認して見ましたが発散して積分できないようです。

定積分にしちゃうからでしょうね．
私も手抜きで Mathematica 使いました．
No.2 の(5)を θ に書き戻して不定積分すると
√(1+cos(θ)} × (16/15)tan(θ/2)
- √(1+cos(θ) × (4/15)tan(θ)
+ (4/15)tan(θ)
になります．
θ→πのとき，第１項が 0×∞ の形ですが，
簡単にわかるように極限値は √2 ですから，発散は起きません．
Mathematica で極限とるのでしたら，Direction->1 をつけておく必要があります．
一発で積分値出すなら
Limit[Integrate[No.2 の(5), θ], θ -> Pi, Direction -> 1]
- Limit[Integrate[No.2 の(5), θ], θ -> 0, Direction -> -1]
とすればよいでしょうか．
結局積分値はめでたく (16√2)/15 になります．

回答No.4

grothendieck

座標変換を全くしないで計算してみました。まずxで積分すると
　∫√x dx = (2/3) x^(3/2)
yを固定した時、D内のxの範囲は1-√(1-y^2) から1+√(1-y^2) までだから
　(2/3)∫[0～1] {(1+√(1-y^2))^(3/2) - (1-√(1-y^2))^(3/2)}dy
という積分になります。私は数式処理を持っていないのでhttp://integrals.wolfram.com/で不定積分を計算すると
　∫ (1+√(1-y^2))^(3/2) dy
　 = 2√(1+√(1-y^2))( 4 - 4√(1-y^2) + y^2 (2+√(1-y^2)) )/(5y)
　∫ (1-√(1-y^2))^(3/2) dy
　= 2√(1-√(1-y^2))( -y^2 (-2+√(1-y^2)) + 4(1+√(1-y^2)))/(5y)
（分母にyがありますが、y→0で有限です）。この不定積分の第1式をf(y)、第２式をg(y) とすると、
　f(1)=g(1)=12/5, 　f(0)=0, g(0)= (-8/5)√2
これにより
積分値=(16√2)/15　となりました。

回答No.3

info22

#2さんの方法で(8)以降を追ってみましたが
∫(φ:0→π/2) 1/{2(cosφ)^2 -1}^2dφ
∫(φ:0→π/2)
[3+1/{2(cosφ)^2-1}-2/{2(cosφ)^2 -1}^2]cosφdφ
のような積分が出てきてMathematicaで確認して見ましたが発散して積分できないようです。
積分したとき φ=0で分母がゼロとなるためです。
楕円積分をしないアイディアはよかったのですが、その後の項別積分で発散するのでは積分が出来ません。
どこがまずいのかは分かりませんが発散する積分和になっていることが問題ですね。

A#1に示した最終的な積分結果には完全楕円積分の関数が入っていませんので、楕円積分をしないで済ませる方法が存在することは確実だと思います。

回答No.2

siegmund

ちょっと面倒な形をしていますね．
変数変換に関しては info22 さんのいわれるとおりです．

楕円積分が出てきてしまうのは，先にθの積分をやるからです．
先に r の積分をやれば楕円関数は出てこなくて済みます．

(1)　　a = cos(θ)
とおいといて
問題は
(2)　　2πr √(ar+1)
の r 積分．
(3)　　ar + 1 = u^2
とおけば，
(4)　　r = (u^2-1)/a,　　dr = 2udu/a
ですから，簡単な積分に帰着でき，
(5)　　∫{r:0→1} 2πr√(ar+1) dr
　　　　= (4/15a^2) + 2{√(1+a)} (3a^2+a-2)/15a^2
になります．
あとは，a をθに書き戻してθ積分ですね．
(5)の右辺第１項は簡単．
問題は第２項に
(6)　　√(1+a) = √(1+cosθ)
があるところですが，ラッキーなことに 1+cosθ ですから
(7)　　θ=2φ
とおけば
(8)　　√(1+cosθ) = √(2cos^2φ) = (√2) |cosφ|
となって根号がほどけます．
あとは本質的に難しいところはないでしょう．

この積分が上のように求められるのは，
範囲Ｄが半径１の円になっていることが本質的で，
そのために(6)のところが √(1+cosθ) になっています．
半径が１ではないと cosθの前に１ではない係数がつきますから，
ここで楕円積分がでてくることになります．

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
(5)まではある程度御指通りにいきました。
しかし、(6)の前で、a^2をcos(θ)に戻すと、cos^2(θ)が出てきますよね。分母に三角関数がついた積分はどのようにやるのかわからなくなってしまいました…。
　何らかの置き換えまたはテクニックが必要ですか？

回答No.1

info22

>範囲Dについては、(x-1)^2+y^2<=1と変形されることはすぐにわかったのですが、果たしてこの範囲は、通常の中心が原点の円と考えて積分可能なのでしょうか？
原点の円としてはだめです。
x-1=X,y=Yと変数変換した(X,Y)の座標系なら原点の円内の1≧Y≧0（上半分）の領域D'と考えて積分可能になります。

>rをどのように範囲をとったらよいのかよくわかりません。
X=rcosθ,Y=rsinθと変数変換すれば
D"は{(r,θ)|0≦θ≦π,0≦r≦1}となります。

しかし、被積分関数が
r√(1+r cosθ)
となって、初等関数の範囲では積分できませんね。
完全楕円積分を使えば積分が出来ます。
→不定積分にEllipticE(θ/2,2r/(1+r))という完全積分がでてきます。
不定積分は完全楕円積分を含む長い複雑な式になりますので簡単には計算が難しいでしょう。完全楕円積分を知っておられるなら挑戦してみてください。
定積分で、積分の下限、上限をうまく代入して、積分が困難な（完全積分となる）部分積分項をうまくプラスマイナスで打ち消して消去する工夫をすれば完全楕円積分をしなくても積分値が求まる可能性がゼロではありませんね（私はやってみたわけではありませんが積分結果を見るとその可能性があるということです）。

参考）
Mathematicaを使って定積分を求めると次のようになります。
積分値→(16√2)/15

補足

回答ありがとうございます。
完全積分については知りませんでした。完全楕円積分など数学の本などで調べましたがよくわかりませんでした…。
まだまだ勉強不足ですね。がんばります。ありがとうございます。