組合せの計算

質問

(p+q+r)C(p) x (q+r)C(q) = n! / (p! x q! x r!)

上記の式の左辺から右辺への計算過程がわかりません。わかりやすく解説しながら左辺から右辺へ導いていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

n=p+q+rとします．

左辺から右辺は単に公式を適用するだけです．

左辺=(n)C(p)×(n-p)C(q)=[n!/{p!(n-p)!}]×[(n-p)!/{q!(n-p-q)!]

=n!/{p!q!(n-p-q)!}←（n-p）!は分母と分子にあるからキャンセルする

=右辺

※これは同じものを含む順列の個数ですね．左辺の考え方は

・n個の場所からp個の同じものを置く場所を選ぶ方法が(n)C(p)通り
・その各々に対して，残った(q+r)個の場所からｑ個の同じものを置く場所を選ぶ方法が(q+r)C(q)通り
・残りのr個の場所にr個の同じものを置くとよい

ですね．これを右辺のような綺麗な公式にまとめるわけです．

お礼

回答ありがとうございます。お手数をおかけして、恐れ入ります。すごく分かりやすかったです。

回答No.1

noname#171951

n=p+q+rですか？

一般に、nCr=n!/{(r!)(n-r)!}です。
それを使って左辺を計算してください。

計算はご自分でどうぞ。

お礼

回答ありがとうございます。公式の導き出し方は、参考書で勉強していきたいと思います。