大学の数学。組み合わせに関する演習問題です。

質問

大学の離散システム工学という講義の問題の途中に出てくる計算が意味分かりません。

(1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k = (52C2)-(31C2)-(21C2)-(11C2)

Cは組み合わせです。
どうして左辺＝右辺
になるのかが分かりません。

どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

[1]f(x)という母関数が何を表しているか。
(1+x+x^2+x^3+…+x^20)の各項の指数(x^kのkの部分）は「取り出した球の中に赤球が何個含まれているか」を表し、
(1+x+x^2+x^3+…+x^30)の各項の指数は「取り出した球の中に青球が何個含まれているか」を表し、
(1+x+x^2+x^3+…+x^40)の各項の指数は「取り出した球の中に白球が何個含まれているか」を表している、
と考えれば、
f(x)を多項式で表したときのx^50の項の指数50は「取り出した球の個数が50個であること」を示し、x^50の項の係数はそのような取り出し方（合計が50になるような赤球、青球、白球の個数の組み合わせ）が何通りあるかを表していることになります。
　ですが、x^50の係数を計算するために
(1+x+x^2+x^3+…+x^20)(1+x+x^2+x^3+…+x^30)(1+x+x^2+x^3+…+x^40)
を直接展開するのでは、場合の数を全部数え上げるのと同じ手間が掛かってしまいますから、f(x)なんてものを持ち出した甲斐がありません。

[2] さて、
(1+x+x^2+x^3+…+x^r)(1-x) = 1-x^(r+1)
だから、
f(x)= (1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)/((1-x)^3)
である。
で、1/((1-x)^3)の部分をマクローリン展開すると、
1/((1-x)^3) = Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])(x^k)
だから
f(x) = (1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])(x^k)
である。この式のx^50の項の係数を計算すれば良いんです。

[3] ところが、
(1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)= 1-x^21-x^31-x^41+x^52+x^62+x^72-x^93
であるから、
(f(x)のx^50の項)= ({(1-x^21-x^31-x^41)(([50+2]C[2])x^50+([50-21+2]C[2])x^(50-21)+([50-31+2]C[2])x^(50-31)+([50-41+2]C[2])x^(50-41))}のうちのx^50の項)
となる。これら以外の項は、展開したときにxの次数が50にならないから関係ない。で、ばっさりと無視してしまえるわけです。
　つまり、f(x)のx^50の項の係数は、Σの中のx^50の項、x^(50-21)の項、x^(50-31)の項、x^(50-41)の項の係数だけで決まる。

[4] なので結局、
(f(x)のx^50の項)
= ([50+2]C[2])x^50-(x^21)(([50-21+2]C[2])x^(50-21))-(x^31)(([50-31+2]C[2])x^(50-31))-(x^41)(([50-41+2]C[2])x^(50-41))

お礼

最初から解いて頂いて、
本当に自分のためにココまでしてもらえるなんて感動しました。
しかも、できるようになりました!!
本当に助かりました。
また機会があれば是非お願いいたします。
ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

>どうして左辺＝右辺になるのかが分かりません。

普通の意味ではなるはずがないと思うんですけど
何か条件とか落ちてませんか？

まず，
Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k = 1/(1-x)^3
ですよね
なぜなら，等比級数の和の公式を考えれば
1/(1-x) = Σ[k=0 to ∞] x^k
なので．級数のコーシー積を考えれば
1/(1-x)^2 = Σ[k=0 to ∞] (k+1)x^k
です．さらに，1/(1-x)^2 と 1/(1-x) のコーシー積で
1/(1-x)^3 = Σ[k=0 to ∞] (k+2)(k+1)/2 x^k
= Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k
です．となると，
(1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k
=(1-x^21)/(1-x) (1-x^31)/(1-x) (1-x^41)/(1-x)
なので，
=(1+x+・・・+x^20)(1+x+・・・+x^30)(1+x+・・・x^40)
と・・・多項式になりますね。。。

＃んーー。。。なんか間違ってるかな。。。

お礼

ありがとうございました。
わざわざ解いて頂いて本当に感謝です。
また機会があればよろしくお願いいたします。

補足

ご回答ありがとうございます。
申し訳ありません。
こちらの書き方に間違いがあったようです。
もし、差し支えなければ下の方の補足の方に誤った部分を書いておいたので、アドバイスもらえると嬉しいです。

回答No.1

YQS02511

(k+2)C2
＝2C2X^0+3C2X+4C2X^2+・・・・・・・
＝1+3X+6X^2+10X^3+・・・・・・・・

　んん、強引に考えれば、21＋31=52　で41乗の計算はつらいので
52-41=11となることを利用しているんでしょうね。

　シグマ以降の無限級数？は、うまくいくような個数にあるための
式なんでしょうね。
　こういった式は、離散システム工学の何の講義ででてきたのです
か？

お礼

ありがとうございました。
お蔭様でなんとかできるようになりました！
また機会があればよろしくお願いいたします。

補足

「なるはずがない」との
解答で、、もう一度見直してみたところ…
自分の方が間違っていました。
大変申し訳ないです!!
(1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k = (52C2)-(31C2)-(21C2)-(11C2)

ではなく

(1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k
となります。
このときのx^50の係数は
(52C2)-(31C2)-(21C2)-(11C2)
となる。
でした

おそらく離散システムの「組み合わせ論」らしきところだと思います。
ちなみにこの問題を書いておくと、、

（問）箱の中に、２０個の赤球、３０個の青球、４０個の白球が入っている。ただし、同色の球は区別できないものとする。この箱から５０個の球を取り出すとき。異なる組み合わせは何通りあるか？

です。
解法は
f(x)=(1+x+x^2+x^3+…+x^20)(1+x+x^2+x^3+…+x^30)(1+x+x^2+x^3+…+x^40)=a+bx+cx^2+dx^3+…+?x^50+…
とおけてx^50の係数の部分すなわち?の部分が問題の答えになるという事です。そこまではなんとか分かるのですが…（公式的に解法は覚えたとゆー感じです）

話を戻して
どうしてx^50の係数が(52C2)-(31C2)-(21C2)-(11C2)
となるかはやっぱり分からないです。