シグマの計算

質問

以下の問題が分かりませんでした。
左辺の展開により示して下さい。

任意のaについて、
1/nΣ(i=1～n)(x[i]-a)^2 = 1/nΣ(i=1～n)(x[i]-xバー)^2 + (xバー-a)^2
※xバーはxの平均です、x[i]は[i]は添え字です、右辺の2項目にはΣは掛かっていません。

宜しくお願いします。

回答No.3

debut

途中はこんなかんじ。
1/nΣ(x[i]-a)^2
=1/nΣ{(x[i]-xバー)+(xバー-a)}^2
=1/nΣ{(x[i]-xバー)^2+2(x[i]xバー-ax[i]-(xバー)^2+axバー)
　　+(xバー-a)^2}
=1/nΣ(x[i]-xバー)^2+2/nΣ{x[i]xバー-ax[i]-(xバー)^2+axバー}
　　+1/nΣ(xバー-a)^2
=1/nΣ(x[i]-xバー)^2+2(xバー)^2-2axバー-2(xバー)^2+2axバー
　　+1/nΣ(xバー-a)^2
=1/nΣ(x[i]-xバー)^2+(xバー-a)^2

回答No.2

Mr_Holland

左辺から示すと作為的な気がするが。。。
　「xバー」はｍとおく。

　　(左辺)
　＝1/nΣ(i=1～n)x[i]^2－1/nΣ(i=1～n)2ax[i]＋1/nΣ(i=1～n)a^2
　＝1/nΣ(i=1～n)x[i]^2－2am＋a^2
　＝1/nΣ(i=1～n)x[i]^2＋(-2m^2+m^2+m^2)－2am＋a^2
　＝1/nΣ(i=1～n)x[i]^2－2/nΣ(i=1～n)mx[i]＋1/nΣ(i=1～n)m^2＋(m-a)^2
　＝1/nΣ(i=1～n){x[i]^2-m}^2＋(m-a)^2
　＝(右辺)

　証明するときは、右辺から行ったほうが消す方向なので比較的楽です。

回答No.1

debut

(x[i]-a)^2={(x[i]-xバー)+(xバー-a)}^2とできます。
また、平均なので、1/nΣx[i]=xバーが使えます。
そして、1/nΣ(xバー-a)^2=(1/n)*n(xバー-a)^2=(xバー-a)^2
です。
やってみてください。