数学 極限

質問

lim{1/n log(a^n+a^2n)の解き方を教えてください

回答No.2

NemurinekoNya

#1です。
～～～～～～～
a ≧ 1のとき
　a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) < 2a^2n
　(a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)
　a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) < a^2・2^(1/n)
～～～～～～～
じゃなくて、

～～～～～～
a ≧ 1のとき
　a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) ≦ 2a^2n
　(a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) ≦ (2a^2n)^(1/n)
　a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) ≦ a^2・2^(1/n)
～～～～～～
ですね。

もしくは、
～～～～～～
a > 1のとき
　a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) < 2a^2n
　(a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)
　a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) < a^2・2^(1/n)
～～～～～～
と
a = 1とに場合分けをする。

a = 1のとき、
　(a^n+a^2n))^(1/n) = (1^2+1^2n)^(1/n) = 2^(1/n)
なので、
　lim (a^n+a^2n))^(1/n) = lim 2^(1/n) = 1
とやってください。

ではでは。

回答No.1

NemurinekoNya

(1/n)・log(a^n+a^2n) = log((a^n+a^2n)^(1/n))

a < 1の時、
　a^n < a^n + a^2n < 2a^n
　(a^n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)
　a < (a^n+a^2n))^(1/n) < a・2^(1/n)
となる。
　lim a = a
　lim a・2^(1/n) = a
ハサミウチの定理より
　lim (a^n+a^2n))^(1/n) = a

a ≧ 1のとき
　a^2n < (a^n+a^2n))^(1/n) < 2a^2n
　(a^2n)^(1/n) < (a^n+a^2n))^(1/n) < (2a^2n)^(1/n)
　a^2 < (a^n+a^2n))^(1/n) < a^2・2^(1/n)
となる。
　lim a^2 = a^2
　lim a^2・2^(1/n) = a^2
ハサミウチの定理より
　lim (a^n+a^2n))^(1/n) = a^2

もう答えは出たようなもの。

　a < 1のとき
　lim {1/n log(a^n+a^2n) = log(a)
　a ≧ 1のとき
　lim{1/n log(a^n+a^2n) = log(a^2) = 2log(a)