極限について

質問

［∀n∈N,a[n]>0］

lim(a[n＋1]/a[n])＝α
ならば
lim{a[n]^(1/n)}＝α

が成り立つらしいのですが

(1)|a[n]^(1/n)－α|を上手くεで抑えられません…。どのようにして示せば良いのでしょうか？

(2)逆は成り立たないのですか？(反例があるのでしょうか？)

(1)(2)について、分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

(1)
a[n] = (a[n]/a[n-1])・(a[n-1]/a[n-2])・ … ・(a[2]/a[1])・(a[1]/1)
の対数をとって、
log( a[n]^(1/n) ) = (1/n) { log(a[n]/a[n-1]) + log(a[n-1]/a[n-2]) + … + log(a[2]/a[1]) + log(a[1]/1) }
となります。この式で n→∞ にすると、
算術平均の極限 http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/appendices/limitmean.htm より、
右辺の極限は、収束して、lim{ log(a[n+1]/a[n]) } に一致します。
lim{ log( a[n]^(1/n) ) } = lim{ log(a[n+1]/a[n]) } = log( lim{ a[n+1]/a[n] } ) = log(α)
ということです。よって、
lim{ a[n]^(1/n) } = exp( lim{ log( a[n]^(1/n) ) } ) = α。

(2)
上の計算から派生して、算術平均極限は収束するが、数列そのものは収束しない
例を考えれば良いです。
例えば、a[n] = n が偶数のとき 1,　n が奇数のとき 2　を考えると、
a[n+1]/a[n] は、1/2, 2, 1/2, 2, … となって収束しませんが、
a[n] が有界なので、a[n]^(1/n) は 0 に収束します。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4840212.html

補足

arrysthmiaさん、回答ありがとうございますm(__)m

(1)納得しました！とても分かりやすかったです。数学苦手な私でも理解できて助かりました。

(2)についてなんですが、最後はlog(a[n]^(1／n))が0に収束だからa[n]^(1／n)は1に収束かな？と思ったのですが…

申し訳ないのですがココだけよくわかりません…回答していただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

失礼。その通り。
0 ではなく、1 でした。
ご理解頂いたようですね。

お礼

助かりました!!